経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

労働分配率・資本分配率：コブダグラス関数『経出る』例題7.4

【問】　利潤最大化問題 \begin{align} \max_{L,K}& {\pi}(L,K)=pAL^{\alpha}K^{\beta}-\left(wL+rK\right)\\[2ex] \end{align} について，答えなさい．ここで，$A$ は全体的な生産性を測る定数，$p$ は生産物価格，$w$ は労働賃金率，$r$ は資本レンタル率とする．
(1)　最適解 $(L^*, K^*)$ が満たす $1$階条件を求めなさい．
(2)　労働分配率 $\dfrac{wL^*}{pA(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}}$ を求めなさい．
(3)　資本分配率 $\dfrac{wK^*}{pA(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}}$ を求めなさい．

1. 各変数で偏微分してイコールゼロとおけばよい， \[ \begin{align} 0=&p{\alpha}A(L^*)^{\alpha -1}(K^*)^{\beta}-w \qquad (1)\\[2ex] 0=&p{\beta}A(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta -1}-r \qquad (2)\\[2ex] \end{align} \]


2. (1) より，$wL^*=p{\alpha}A(L^*)^{\alpha -1}(K^*)^{\beta}L^*= p{\alpha}A(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}$．ゆえに， \[ \dfrac{wL^*}{pA(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}}= \dfrac{p{\alpha}A(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}}{pA(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}} =\alpha． \]


3. (2) より，$rK^*=p{\beta}A(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta -1}K^*= p{\beta}A(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}$．ゆえに， \[ \dfrac{rL^*}{pA(L^*)^{\beta}(K^*)^{\beta}}= \dfrac{p{\alpha}A(L^*)^{\beta}(K^*)^{\beta}}{pA(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta}} =\beta． \]