経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

準凸関数とレベル集合【『経出る』7.5節】

(1)　関数 $f$ がどんな $\boldsymbol{x^0}, \boldsymbol{x^1}$ と $0 < \alpha < 1$ なるどんな $\alpha$ に対しても $f(\boldsymbol{x^1}) \geq f(\boldsymbol{x^0}) \Rightarrow f((1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}) \geq f(\boldsymbol{x^0}) $ を満たすとき，$f$ を準凹関数という．
(2)　関数 $f$ がどんな $\boldsymbol{x^0}, \boldsymbol{x^1}$ と $0 < \alpha < 1$ なるどんな $\alpha$ に対しても $f(\boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^0}) \Rightarrow f((1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^0}) $ を満たすとき，$f$ を準凸関数という

【問】　$f$ が準凸であることと，どんな $t$ に対しても $f$ のレベル集合 $L(f,t):=\{\boldsymbol{x} \ | \ f(\boldsymbol{x})\leq t\}$ が凸集合であることとが同値であることを示しなさい．

• $f$ が準凸であるとする．$f(\boldsymbol{x^0})\leq t , f(\boldsymbol{x^1})\leq t $ とする．$f(\boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^0})$ の場合，$f$ が準凸であるので， \[ f((1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^0})\leq t \] $f(\boldsymbol{x^0}) \leq f(\boldsymbol{x^1})$ の場合も，$f$ が準凸であるので， \[ f((1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^1})\leq t \] となる．いずれにしろ，凸結合 $(1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}$ がレベル集合 $L(f,t)$ に属するので，このレベル集合は凸集合である．


• どんなレベル集合も凸であるとする．$f(\boldsymbol{x^1}) \leq f(\boldsymbol{x^0})$ とする．今，$t=f(\boldsymbol{x^0})$ に対しレベル集合 $L(f,t)$ は凸集合であるので， \[f((1-\alpha )\boldsymbol{x^0}+\alpha \boldsymbol{x^1}) \leq t=f(\boldsymbol{x^0}) \] となり，$f$ が準凸関数であることが言えた．