経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

コブ・ダグラス関数は準凹関数【『経出る』7.5節】

コブ・ダグラス関数が準凹関数であることを示す．証明の要は， 対数関数 $\log_{}{x}$ が，

1. 凹関数である
2. 単調である

【問】　コブ・ダグラス関数 $f(L,K)=L^{\alpha}K^{\beta}$ は準凹関数であることを示しなさい．

• つぎの式を満たす変数，$(L_{1},K_{1}),(L_{2},K_{2})$ と $0 < \lambda <1$ \begin{align} f(L_{1},K_{1})=L_{1}^{\alpha}K_{1}^{\beta}\geq t\tag{1}\\[2ex] f(L_{2},K_{2})=L_{2}^{\alpha}K_{2}^{\beta}\geq t\tag{2}\\ \end{align} に対して， \begin{align} f((1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2},(1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})\geq t \tag{3}\\ \end{align} となることを示す．


• (3) の左辺に $\log_{}{}$ を施す． \begin{align} \log_{}{f((1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2},(1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})} &=\log_{}{((1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2})^{\alpha} (1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})^{\beta})}\\[2ex] &={\alpha}\log_{}{((1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2})} +{\beta}\log_{}{((1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})} \quad \cdots \quad 対数法則\\[2ex] &\geq \alpha\left((1-\lambda)\log_{}{L_{1}}+{\lambda}\log_{}{L_{2}}\right) +\beta\left((1-\lambda)\log_{}{K_{1}}+{\lambda}\log_{}{K_{2}}\right) \quad \cdots \quad 対数は凹関数\\[2ex] &=(1-\lambda)\left(\alpha \log_{}{L_1}+\beta \log_{}{K_1}\right) +\lambda \left(\alpha \log_{}{L_2}+\beta \log_{}{K_2}\right)\\[2ex] &\geq (1-\lambda)\log_{}{t}+\lambda\log_{}{t} \quad \cdots \quad (1)，(2) に\log_{}{} を施して得る不等式\\[2ex] &=\log{}{t}． \end{align} まとめると， \begin{align} \log_{}{((1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2})^{\alpha} (1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})^{\beta})} &\geq \log{}{t}, \end{align} だが，対数の単調性より， $(1-\lambda)L_{1}+\lambda L_{2})^{\alpha} (1-\lambda)K_{1}+\lambda K_{2})^{\beta} \geq t$ となり，レベル集合が凸集合であることが示された．