経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

多変数関数のチェインルールの幾何学的解釈【『経出る』7.2節】（作成：2015.11.23）

【問】　関数$f(x_1, \ldots x_n)$に対して．$\nabla f(x_1, \ldots x_n)=\displaystyle \bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \ldots x_n),\ldots \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1, \ldots x_n)\bigr)$ は等曲面（レベル集合）$r_f(c)=\{(x_1, \ldots x_n)\in R^n | f(x_1, \ldots x_n)=c\}$ に$(x_1, \ldots x_n)\in r_f(c)$で直交することを示しなさい．

1. ($g_1(t_0), \ldots g_n(t_0))\in r_f(c)$に対し， \[ c=f(g_1(t_0), \ldots ,g_n(t_0)) \]


2. 両辺微分すると（右辺はチェインルールをつかう）， \[ \begin{align} 0=&\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \ldots x_n)g_1^{\prime}(t_0)+ \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1, \ldots x_n)g_n^{\prime}(t_0) \\[2ex] =&\nabla f(x_1, \ldots x_n)\cdot \dot{g}(t) \quad (1) \end{align} \]


3. $g_j^{\prime}(t_0)\doteqdot \dfrac{g(t_0+\Delta t)-g(t_0)}{\Delta t}$なので $\dot{g}(t)=\bigl(g_1^{\prime}(t_0), \ldots g_n^{\prime}(t_0)\bigr)$はレベル集合の接ベクトル．(1) 式はこれと $\displaystyle \nabla f(x_1, \ldots x_n)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \ldots x_n)\ldots \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_1, \ldots x_n)\Bigr)$ の内積が$0$，すなわち直交することを示している．