経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
オイラーの定理の逆（作成：2015.12.28）
【問】 以下の$2$変数関数について，つねに
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)x_1+
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2)x_2
=kf(x_1,x_2)\]
が成り立つならば，$f(x_1,x_2)$ は $k$ 次同次関数であることを示しなさい．
【解答】
$y=f(tx_1,tx_2)-t^kf(x_1,x_2)$ とおく．
\begin{align}
\frac{dy}{dt}&=
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)x_1+
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(tx_1,tx_2)x_2-kt^{k-1}f(x_1,x_2)\\
&=\frac{1}{t}\bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)tx_1+
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(tx_1,tx_2)tx_2-kt^{k}f(x_1,x_2)
\Bigr)\\
&=\frac{k}{t}\bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)+
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(tx_1,tx_2)-t^{k}f(x_1,x_2)
\Bigr)\\
&=\frac{k}{t}y.
\end{align}
したがって，$\dfrac{dy}{y}=k\dfrac{dt}{t}$ となるから，
$\log_{}{|y|}=k\log_{}{|t|}+C_1$（$C_1$は定数）．ゆえに，
$y=Ce^{\log_{}{t^k}}$．$t=1$ に対し，$y=0$ だから，$C=0$．
ゆえに $y=f(tx_1,tx_2)-t^kf(x_1,x_2)=0$．
【解答終】
【Further Reading】
KC. Border, Euler’s Theorem for Homogeneous Functions
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