経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
費用最小化『経出る』例題7.6改題
【問】 ラグランジュの未定乗数法を使って（長期）費用最小化問題
\begin{align}
\max_{L,K}& wL+rK\\[2ex]
s.t.& LK=x
\end{align}
を解きなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(L,K,\lambda )=wL+rK+\lambda
\left(x-LK\right)．
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\begin{align}
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial L}=w-\lambda K
\tag{1}\\[2ex]
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial K}=r-\lambda L
\tag{2}\\[2ex]
0=&x-LK\tag{3}
\end{align}
となる．(1), (2) を辺々割り算して，$K=\dfrac{w}{r}L$．これと(3)式から，
$L(x)=\sqrt{\dfrac{rx}{w}}, K(x)=\sqrt{\dfrac{wx}{r}}$を得る．
【解答終】
【メモ】
資本レベルが一定の$K_0$のとき，$x$生産するための（短期）費用
$SC(K_0,x)$は，$L=\dfrac{x}{K_0}$より，
\[
SC(K_0,x)=\frac{w}{K_0}x+rK_0
\]
となる．一方資本レベルも可変な場合の（長期）費用$LC(x)$は，上記の解を代入して，
\[
LC(x)=2\sqrt{wrx}
\]
となる．このとき，
\begin{align}
\dfrac{dLC(x)}{dx}&=\sqrt{\dfrac{wr}{x}}\\
\dfrac{\partial SC}{\partial x}(K(x),x)&=\dfrac{w}{K(x)}=
\dfrac{w}{\sqrt{\dfrac{wx}{r}}}=\sqrt{\dfrac{wr}{x}}=\dfrac{dLC(x)}{dx}
\end{align}
となる．
【メモ終】
【Further Reading】
岡田章『経済学・経営学のための数学』東洋経済（2001）
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