経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

効用関数が分数型関数の制約付問題．偏微分は【『経出るWB』の問題7.2（13）】で演習済み♡

【問】　ラグランジュの未定乗数法を使って，次の最大化問題を解きなさい． \begin{align} \max_{x>0,y>0}& u(x,y)=\dfrac{xy}{x+y}\\[2ex] s.t. & 3x+12y=36 \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x,y,\lambda )=\dfrac{xy}{x+y}+\lambda (36-3x-12y)． \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=\dfrac{y^2}{(x+y)^2}-3\lambda \qquad (1)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial y}=\dfrac{x^2}{(x+y)^2}-12\lambda \qquad (2)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=36-3x-12y\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(2)\div(1)$ から（ちょっとはしょり気味？）， $\dfrac{x^2}{y^2}=4$．ゆえに $x=2y$．これを(3)に代入すると，$36-6y-12y=0$となり，$y=2$ を得る．したがって，$x=4$ を得る．最適解は $(x,y)=(4,2)$