経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
消費者の支出最小化と補償需要関数
効用関数$u(x,y)$に対して，所与の効用水準$\bar{u}$を保ったまま，
支出$px+qy$を最小化する問題，
\begin{align}
\max_{x,y}& px+qy\\[2ex]
s.t.& u(x,y)=\bar{u}
\end{align}
を考える．
【問１】 ラグランジュの未定乗数法を使って，次の費用最小化問題
\begin{align}
\max_{x,y}& px+qy\\[2ex]
s.t.& \log_{}{x}+\log_{}{y}=\bar{u}
\end{align}
を解きなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x,y,\lambda )=px+qy+\lambda
\left(\bar{u}-\log_{}{x}-\log_{}{y}\right)．
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\begin{align}
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=p-
\dfrac{\lambda}{x}
\tag{1}\\[2ex]
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial y}=q-
\dfrac{\lambda}{y}
\tag{2}\\[2ex]
0=&\bar{u}-\log_{}{x}-\log_{}{y}\tag{3}
\end{align}
となる．(1)から，$\lambda =px$，(2)から，$\lambda =qy$．従って，
$y=\dfrac{p}{q}x$となる．(3) に代入して，
\[
\bar{u}=\log_{}{x}+\log_{}{\dfrac{p}{q}x}=\log_{}{\dfrac{p}{q}x^2}．
\]
これより，$x(p,q,\bar{u})=\Bigl(\dfrac{q}{p}e^{\bar{u}}\Bigr)^{\frac{1}{2}}$，
$y(p,q,\bar{u})=\Bigl(\dfrac{p}{q}e^{\bar{u}}\Bigr)^{\frac{1}{2}}$となる．
【解答終】
【問２】 ラグランジュの未定乗数法を使って，次の費用最小化問題
\begin{align}
\max_{x,y}& px+qy\\[2ex]
s.t.& x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}=\bar{u}
\end{align}
を解きなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x,y,\lambda )=px+qy+\lambda
\left(\bar{u}-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\right)．
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\begin{align}
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=p-
\dfrac{\lambda}{2} x^{-\frac{1}{2}}
\tag{1}\\[2ex]
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial y}=q-
\dfrac{\lambda}{2} y^{-\frac{1}{2}}
\tag{2}\\[2ex]
0=&\bar{u}-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\tag{3}
\end{align}
となる．(1)から，$\dfrac{\lambda}{2} =px^{\frac{1}{2}}$，
(2)から，$\dfrac{\lambda}{2} =qy^{\frac{1}{2}}$．従って，
$y^{\frac{1}{2}}=\dfrac{p}{q}x^{\frac{1}{2}}$となる．(3) に代入して，
\[
\bar{u}=x^{\frac{1}{2}}\dfrac{p}{q}x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{p}{q}x．
\]
これより，$x(p,q,\bar{u})=\dfrac{q}{p}\bar{u}$，
$y(p,q,\bar{u})=\dfrac{p}{q}\bar{u}$となる．
【解答終】
【メモ】
$x(p,q,\bar{u})$，$y(p,q,\bar{u})$を補償需要関数という．
【メモ終】
【Further Reading】
伊藤・戸瀬『経済学とファイナンスのための基礎数学』共立出版（2008）
神取道宏『ミクロ経済学の力』日本評論社（2014）
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