経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

女性の賃金と子どもの数

【問】　 家計は消費財$c$と子ども$n$人を持つことから効用を得るものとし，その効用関数を \[ {\gamma} \log_{}{n}+(1-{\gamma})\log_{}{c} \] で特定化する．${\gamma} > 0$ は子どもへの選好を表すパラメーターである． この家計において，夫婦とも$1$単位の時間を持っている． 男性は全ての時間を市場労働に使う一方，女性は時間$z\in [0,1]$を子育てに使い， $1-z$を市場労働に使う．男性の賃金を$w_m$，女性の賃金を$w_f$とする． 子どもの数は子育て時間に比例し$n={\alpha}z, {\alpha} > 0$とする． このとき，次の効用最大化問題について答えなさい． また，$n$を$w_f$で偏微分し，経済学的なインプリケーションを導きなさい． \[ \begin{array}{ll} \displaystyle \max_{z,c} & {\gamma} \log_{}{{\alpha}z}+(1-{\gamma})\log_{}{c} \\[2ex] s.t. &c=w_m+w_f(1-z) \end{array} \]

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(z,c,\lambda )= {\gamma} \log_{}{{\alpha}z}+(1-{\gamma})\log_{}{c}+{\lambda}(c-w_m-w_f(1-z)) \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{\gamma}{z}+w_f{\lambda} \qquad (1)\\[2ex] 0=&\dfrac{1-{\gamma}}{c}+{\lambda} \qquad (2)\\[2ex] 0=&c-w_m-w_f(1-z)\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)$と$(2)$ から， \[ c=\dfrac{1-{\gamma}}{\gamma}w_fz \] これを$(3)$に代入すると \begin{eqnarray*} \dfrac{1-{\gamma}}{\gamma}w_fz&=&w_m+w_f(1-z)\\ \dfrac{1-{\gamma}}{\gamma}w_fz+w_fz&=&w_m+w_f\\ z&=&\dfrac{w_m+w_f}{w_f}{\gamma} \end{eqnarray*} より， \[ n={\alpha}z=\dfrac{{\alpha\gamma}(w_m+w_f)}{w_f} \] なので， \[ \dfrac{\partial n}{\partial w_f}=\dfrac{-{\alpha\gamma}w_m}{w_f^2}<0 \] となり，女性の賃金があがると子どもに対する需要が減ることが分かる．