経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
凸関数と微分
【問】
微分可能な関数 $f:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ に対し，次は同値であることを示しなさい．
(1) $f(x)$は凸関数
(2) $f(y) \geq f(x) + \langle \nabla f(x), y-x \rangle$ for all $x,y$
【解答】
(1) $\Rightarrow$ (2)
${\alpha}\in (0,1)$に対し，$f(x)$は凸関数なので，
\[
f(x+{\alpha}(y-x))-f(x)=f({\alpha}y+(1-{\alpha})x)-f(x)\leq {\alpha}f(y)+(1-{\alpha})f(x)-f(x)={\alpha}[f(y)-f(x)]
\]
なので，両辺を${\alpha}$で割り，${\alpha} \downarrow 0$とすればよい．
(1) $\Leftarrow$ (2)
$y_1, y_2$と${\alpha}\in (0,1)$に対し，$x={\alpha}y_1+(1-{\alpha})y_2$とおく．
(2)式から，$f(y_i) \geq f(x) + \langle \nabla f(x), y_i-x \rangle$ for $i=1,2$
が成り立つので，これらの凸結合から
\[
{\alpha}f(y_1)+(1-{\alpha})f(y_2)\geq f(x) + \langle \nabla f(x), {\alpha}y_1+(1-{\alpha})y_2 -x \rangle=f(x)
=f( {\alpha}y_1+(1-{\alpha})y_2)
\]
が得られる．
【解答終】
【問】
$2$階連続微分可能な関数 $f:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ に対し，次は同値であることを示しなさい．
(1) $f(x)$は凸関数
(3) ${\nabla}^2 f(x)$ は任意の$x$に対して半正定値
【解答】
(3) $\Rightarrow$ (1)
Taylorの定理から，任意の$x,y$に対して，$\exists y\in (0,1)$が存在して，
\[
f(y)-f(x)=\langle \nabla f(x), y-x \rangle
+\dfrac{1}{2}\langle {\nabla}^2 f(x+r(y-x))(y-x), y-x\rangle \tag{a}
\]
${\nabla}^2 f(x)$ は任意の$x$に対して半正定値なので，
\[
f(y)-f(x)\geq \langle \nabla f(x), y-x \rangle
\]
となり，(2)が成り立っているので，凸関数である．
(1) $\Rightarrow$ (3)
対偶を示す．
${\nabla}^2 f(x)$ がある$x$に対して半正定値でないとすれば，
\[
\langle {\nabla}^2 f(x)d, d\rangle < 0
\]
となる$d\neq 0$が存在する．十分小さい${\alpha}>0$に対して，$y=x+{\alpha}d$とおくと，
$y-x={\alpha}d$であることより， ${\nabla}^2 f(x)$の連続性から，
\[
\langle {\nabla}^2 f(x+r(y-x))(y-x), y-x\rangle={\alpha}^2\langle {\nabla}^2 f(x+r(y-x))d, d\rangle <0
\]
となるが(a)式より，(2)が成り立たないことがいえるので，$f$は凸関数ではない．
【解答終】
【Further Reading】
J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lamaréchal, "Convex Analysis and Minimization Algorithms I", Springer (1993)
福島雅夫,『非線形最適化の基礎』朝倉書店（2001）
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