経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
対数最小二乗法と幾何平均
【問】
一般に$a_{ij}\neq \dfrac{w_i}{w_j}$であるので，誤差モデル
\[
a_{ij}\approx \dfrac{w_i}{w_j}
\]
を考える．対数最小二乗法により，重要度$w_i$を推定しなさい．
【解答】
両辺の対数を取ると，誤差ノイズ$e_{ij}$を用いて
\[
\log_{}{a_{ij}}=\log_{{w_i}}-\log_{}{w_j}+{e_{ij}}, \tag{1}
\]
ただし，$i < j $.
$e_{ij}^2$の総和を最小にすることにより，重要度$w_j$を決定する．
簡単のため$n=3$で調べる．
記号が煩雑になるので$\tilde{a}=\log_{}{a}$と表す．
このとき，$-\tilde{a}=\log_{}{\dfrac{1}{a}}$, $0=\log_{}{1}$である．
こうすると(1)式は以下の通り，書き換えられる．
\[
\tilde{a_{ij}}=\tilde{w_i}-\tilde{w_j}+e_{ij}
\]
従って最小化すべき関数は
\[
f(\tilde{w_1},\tilde{w_2},\tilde{w_3})=(\tilde{a_{12}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_2})^2
+(\tilde{a_{13}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_3})^2
+(\tilde{a_{23}}-\tilde{w_2}+\tilde{w_3})^2
\]
となる．$1$階の条件を求める．
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial f}{\partial \tilde{w_1}}&=&-2(\tilde{a_{12}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_2})-2(\tilde{a_{13}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_3})=0\\
\dfrac{\partial f}{\partial \tilde{w_2}}&=&-2(\tilde{a_{12}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_2})-2(\tilde{a_{23}}-\tilde{w_2}+\tilde{w_3})=0\\
\dfrac{\partial f}{\partial \tilde{w_3}}&=&-2(\tilde{a_{13}}-\tilde{w_1}+\tilde{w_3})-2(\tilde{a_{23}}-\tilde{w_2}+\tilde{w_3})=0.
\end{eqnarray*}
これを整理すると
\begin{eqnarray}
2\tilde{w_1}-\tilde{w_2}-\tilde{w_3}=\tilde{a_{12}}+\tilde{a_{13}}\tag{2}\\
-\tilde{w_1}+2\tilde{w_2}-\tilde{w_3}=-\tilde{a_{12}}+\tilde{a_{23}}\tag{3}\\
-\tilde{w_1}-\tilde{w_2}+2\tilde{w_3}=-\tilde{a_{13}}-\tilde{a_{23}}\tag{4}
\end{eqnarray}
$(2)+(3)=-(4)$なのでこれは不定形の連立$1$次方程式である．
そこで$\tilde{w_1}+\tilde{w_2}+\tilde{w_3}=k$（$k$は定数）という関係を導入し解く．
$\tilde{w_3}=k-\tilde{w_1}-\tilde{w_2}$を\eqref{eq2}，\eqref{eq3}式に代入することにより，
\begin{eqnarray*}
\tilde{w_1}&=&\dfrac{1}{3}(\tilde{a_{12}}+\tilde{a_{13}}+k)\\
\tilde{w_2}&=&\dfrac{1}{3}(-\tilde{a_{12}}+\tilde{a_{23}}+k)\\
\tilde{w_3}&=&\dfrac{1}{3}(-\tilde{a_{13}}-\tilde{a_{23}}+k)
\end{eqnarray*}
となる．
ここで$a_{ii}=1$だから$\tilde{a_{ii}}=0$であることと，
$-\tilde{a_{ij}}=\log_{}{\dfrac{1}{a_{ij}}}=\log_{}{a_{ji}}=\tilde{a_{ji}}$であることから，
次の結果が得られる（$s=\dfrac{k}{3}$）．
\begin{eqnarray*}
\tilde{w_1}&=&\dfrac{1}{3}(\tilde{a_{11}}+\tilde{a_{12}}+\tilde{a_{13}})+s\\
\tilde{w_2}&=&\dfrac{1}{3}(\tilde{a_{21}}+\tilde{a_{22}}+\tilde{a_{23}})+s\\
\tilde{w_3}&=&\dfrac{1}{3}(\tilde{a_{31}}+\tilde{a_{32}}+\tilde{a_{33}})+s
\end{eqnarray*}
これを指数変換すると
\begin{eqnarray*}
w_1=(a_{11}a_{12}a_{13})^{1/3}e^s\\
w_2=(a_{21}a_{22}a_{23})^{1/3}e^s\\
w_3=(a_{31}a_{32}a_{33})^{1/3}e^s\\
\end{eqnarray*}
この結果は重要度が，幾何平均の定数倍であることを示している．
【解答終】
【Further Reading】
八巻，高井『問題解決のためのAHP入門』日本評論社（2005）
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