経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
多目的最適化とパレート解
$k$個の最大化目的関数$f_1(y), \dots , f_k(y)$を制約領域$Y$上で最大化する問題を考える．
加重平均法は，適当な重み${\lambda}_{\ell}>0, {\ell}=1,\dots ,k$を使って，加重平均和を求め，
単一目的関数の最大化問題にする方法である．
\begin{align}
最大化 & F(y)=\sum_{{\ell}=1}^{k}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y), \tag{1}\\
条件 & y\in Y
\end{align}
$\hat{y}$は
\[
f_{\ell}(y)\geq f_{\ell}(\hat{y}), \quad \ell =1,\dots k, \tag{2}
\]
で，しかもこの不等式の少なくとも$1$つが厳密な不等号を満足するような$y\in Y$が存在しないとき，パレート最適解とよぶ．
【問】
問題(1}の解$\hat{y}$はパレート解であることを示しなさい．
【解答】
$\hat{y}$がパレート解でなかったとすると，(2)を満たし，かつそのうち一つのindexに対して（一般性を失うことなく$k$としてよい）
厳密な不等式が成立する$y\in Y$が存在する．
このとき${\lambda}_{\ell}>0$だから，
\begin{eqnarray*}
\sum_{{\ell}=1}^{k-1}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y)&\geq& \sum_{{\ell}=1}^{k-1}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(\hat{y})\\
{\lambda}_kf_k(y)&>&{\lambda}_kf_k(\hat{y})
\end{eqnarray*}
となり，$F(y)>F(\hat{y})$が導かれ，$\hat{y}\in Y$が問題(1)の最適解であることに反する．
【解答終】
【Further Reading】
今野浩『線形計画法』日科技連（1987）
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