経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
多目的最適化の拡大Tchebyshev関数とパレート解
$f_{\ell}(y)$の最大化に対し，次の拡大Tchebyshev関数を考える．
\begin{align}
最大化 & G(y)=\min_{{\ell}=1,\dots , k}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y)+{\alpha}\sum_{{\ell}=1}^{k}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y)
, \tag{1}\\[2ex]
条件 & y\in Y
\end{align}
$\hat{y}$は
\[
f_{\ell}(y)\geq f_{\ell}(\hat{y}), \quad \ell =1,\dots k, \tag{2}
\]
で，しかもこの不等式の少なくとも$1$つが厳密な不等号を満足するような$y\in Y$が存在しないとき，パレート最適解とよぶ．
【問】
問題(1}の解$\hat{y}$はパレート解であることを示しなさい．
【解答】
$\hat{y}$がパレート解でなかったとすると，(2)を満たし，かつそのうち一つのindexに対して（一般性を失うことなく$k$としてよい）
厳密な不等式が成立する$y\in Y$が存在する．
このとき${\alpha} >0,{\lambda}_{\ell}>0$だから，
\begin{eqnarray*}
{\alpha}\sum_{{\ell}=1}^{k-1}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y)&\geq& {\alpha}\sum_{{\ell}=1}^{k-1}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(\hat{y}),\\
{\alpha}{\lambda}_kf_k(y)&>&{\alpha}{\lambda}_kf_k(\hat{y}).
\end{eqnarray*}
また
\begin{eqnarray*}
f_{\ell}(y)&\geq &f_{\ell}(\hat{y}),\\
\min_{{\ell}=1,\dots , k}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(y)&\geq &\min_{{\ell}=1,\dots , k}{\lambda}_{\ell}f_{\ell}(\hat{y}),
\end{eqnarray*}
となり，$G(y)>G(\hat{y})$が導かれ，$\hat{y}\in Y$が問題(1)の最適解であることに反する．
【解答終】
【Further Reading】
中山弘隆「あれもこれもよくしたい多目的計画法」オペレーションズ・リサーチ1996年6月号
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