経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
コブ＝ダグラス関数は準凹関数
関数 $f$ がどんな $\boldsymbol{x^0}, \boldsymbol{x^1}$ と
$0 < \lambda < 1$ なるどんな $\alpha$ に対しても
$f(\boldsymbol{x^1}) \geq f(\boldsymbol{x^0}) \Rightarrow
f(\lambda\boldsymbol{x^0}+ (1-\lambda )\boldsymbol{x^1})
\geq f(\boldsymbol{x^0}) $ を満たすとき，$f$ を準凹関数という．
【問】 $A>0, {\alpha}>0, {\beta}>0$に対し，コブ＝ダグラス関数$f(L,K)=AL^{\alpha}K^{\beta}$ が準凹関数であることを示しなさい．
【解答】
$0<{\lambda} < 1$とし，
$f(L^1,K^1)\geq f(L^0,K^0)$とする．$\log_{}{}$ が凹関数であることから，
\begin{eqnarray*}
\log_{}{f({\lambda}L^0+(1-{\lambda})L^1,{\lambda}K^0+(1-{\lambda})K^1)}
&=&\log_{}{A({\lambda}L^0(1-{\lambda})L^1)^{\alpha}
({\lambda}K^0(1-{\lambda})K^1)^{\beta}}\\
&=&\log_{}{A}
+{\alpha}\log_{}{({\lambda}L^0(1-{\lambda})L^1)}
+{\beta}\log_{}{({\lambda}K^0(1-{\lambda})K^1)}\\
&\geq&\log_{}{A}
+{\alpha}\bigl({\lambda}\log_{}{(L^0})+(1-{\lambda})\log_{}{(L^1})\bigr)
+{\beta}\bigl({\lambda}\log_{}{(K^0})+(1-{\lambda})\log_{}{(K^1})\bigr)\\
&=&\log_{}{A}
+{\lambda}\bigl({\alpha}\log_{}{(L^0})+{\beta}\log_{}{(K^0})\bigr)
+(1-{\lambda})\bigl({\alpha}\log_{}{(L^1})+{\beta}\log_{}{(K^1})\bigr)\\
&=&\log_{}{A}
+{\lambda}\bigl(\log_{}{(L^0})^{\alpha}\log_{}{(K^0})^{\beta}\bigr)
+(1-{\lambda})\bigl(\log_{}{(L^1})^{\alpha}\log_{}{(K^1})^{\beta}\bigr)\\
&\geq&\log_{}{A}
+{\lambda}\bigl(\log_{}{(L^0})^{\alpha}\log_{}{(K^0})^{\beta}\bigr)
+(1-{\lambda})\bigl(\log_{}{(L^0})^{\alpha}\log_{}{(K^0})^{\beta}\bigr)\\
&=&\log_{}{A}
+\bigl(\log_{}{(L^0})^{\alpha}\log_{}{(K^0})^{\beta}\bigr)\\
&=&\log_{}{A(L^0})^{\alpha}\log_{}{(K^0})^{\beta}\\
&=&\log_{}{f(L^0,K^0)}
\end{eqnarray*}
$\log_{}{}$ の単調性から結論が導かれる．
【解答終】
【Further Reading】
中山幹夫「経済学覚書：凹関数，ジャンセンの不等式，および最適化」，
三田学会雑誌，111巻，2号，pp.183-196，(2018)
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