経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

同値な効用最大化問題．

【『経出る』練習問題7.3】類題．効用関数の見かけが異なっても，同じ選好を示す場合はあたりまえだが同じ答が出ることの確認．

【問１】　ラグランジュの未定乗数法を使って，次の最大化問題を解きなさい．ただし $\alpha +\beta =1$ とする． \begin{align} \max_{x,y}& u(x,y)=(x-a)^{\alpha}(y-b)^{\beta}\\[2ex] s.t. & px+qy=I \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x,y,\lambda )=(x-a)^{\alpha}(y-b)^{\beta}+\lambda (I-px-qy)． \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}={\alpha}(x-a)^{\alpha -1}(y-b)^{\beta}-p\lambda \qquad (1)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial y}={\beta}(x-a)^{\alpha}(y-b)^{\beta -1}-q\lambda \qquad (2)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=I-px-qy\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(2)\div(1)$ から（ちょっとはしょり気味？）， $\dfrac{\alpha}{\beta}(x-a)^{-1}(y-b)=\dfrac{p}{q}$． ゆえに $q(y-b)=\dfrac{\beta}{\alpha}p(x-a)$．これを(3)をうまく代入して変形する． \begin{align} 0&=I-p(x-a)-q(y-b)-(pa+qb)\\[1ex] &=I-p(x-a)-\dfrac{\beta}{\alpha}p(x-a)-(pa+qb)\\[1ex] &=I-\dfrac{\alpha +\beta}{\alpha}p(x-a)-(pa+qb)\\[1ex] &=I-\dfrac{1}{\alpha}p(x-a)-(pa+qb) \end{align} $\therefore p(x-a)={\alpha}\left(I-(pa+qb)\right)$より， $q(y-b)={\beta}\left(I-(pa+qb)\right)$．したがって最適解は， $px={\alpha}\left(I-(pa+qb)\right)+pa=\alpha I +\beta pa -\alpha qb$， $qy={\beta}\left(I-(pa+qb)\right)+qb=\beta I -\beta pa +\alpha qb$ と変形し（途中$\alpha +\beta =1$ を使った）， $(x,y)=\left(\dfrac{\alpha I +\beta pa -\alpha qb}{p}, \dfrac{\beta I -\beta pa +\alpha qb}{q}\right)$ を得る．

【問２】　ラグランジュの未定乗数法を使って，次の最大化問題を解きなさい．ただし $\alpha +\beta =1$ とする． \begin{align} \max_{x,y}& v(x,y)={\alpha}\log_{}{(x-a)}+{\beta}\log_{}{(y-b)}\\[2ex] s.t. & px+qy=I \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x,y,\lambda )={\alpha}\log_{}{(x-a)}+{\beta}\log_{}{(y-b)}+\lambda (I-px-qy)． \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=\dfrac{\alpha}{x-a}-p\lambda \qquad (1)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial y}=\dfrac{\beta}{y-b}-q\lambda \qquad (2)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=I-px-qy\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)と(2)$ から， \begin{align} p(x-a)&=\lambda\alpha\\ q(y-b)&=\lambda\beta \end{align} これを(3)にうまく代入して変形する（途中$\alpha +\beta =1$ を使う）． \begin{align} 0&=I-p(x-a)-q(y-b)-(pa+qb)\\[1ex] &=I-\lambda\alpha - \lambda\beta-(pa+qb)\\[1ex] &=I-\lambda(\alpha + \beta)-(pa+qb)\\[1ex] &=I-\lambda -(pa+qb) \end{align} $\therefore \lambda =\left(I-(pa+qb)\right)$となるので， \begin{align} p(x-a)&=\alpha\left(I-(pa+qb)\right)\\ q(y-b)&=\beta\left(I-(pa+qb)\right) \end{align} したがって最適解は， $px={\alpha}\left(I-(pa+qb)\right)+pa=\alpha I +\beta pa -\alpha qb$， $qy={\beta}\left(I-(pa+qb)\right)+qb=\beta I -\beta pa +\alpha qb$ と変形し， $(x,y)=\left(\dfrac{\alpha I +\beta pa -\alpha qb}{p}, \dfrac{\beta I -\beta pa +\alpha qb}{q}\right)$ を得る．