経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
$2$種類の財の独占企業
【問】 独占企業が$2$種類の財を生産しているとする．財$i$ ($i=1,2$)の価格を
$p_i$，需要関数を$D_i(p_1,p_2)$とする．限界費用は$c(D_1(p_1,p_2),D_2(p_1,p_2))$とする．
このとき，最適生産条件を求めなさい．
【解答】
企業の利潤は
\[
{\pi}=p_1D_1(p_1,p_2)+p_2D_2(p_1,p_2)-c(D_1(p_1,p_2),D_2(p_1,p_2))
\]
$1$階条件から，
\[
D_1+p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}+p_2\dfrac{\partial D_2}{\partial p_1}-c^{\prime}\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}-c^{\prime}\dfrac{\partial D_2}{\partial p_1}=0,
\]
\[
D_2+p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_2}+p_2\dfrac{\partial D_2}{\partial p_2}-c^{\prime}\dfrac{\partial D_1}{\partial p_2}-c^{\prime}\dfrac{\partial D_2}{\partial p_2}=0.
\]
従って，
\begin{align*}
\dfrac{p_1-c^{\prime}}{p_1}&=-\dfrac{D_1}{p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}}
-\dfrac{(p_2-c^{\prime})\dfrac{\partial D_2}{\partial p_1}}{p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}}\\
&=-\dfrac{D_1}{p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}}
-\dfrac{(p_2-c^{\prime})D_2}{p_1D_1}\cdot
\dfrac{\dfrac{\partial D_2}{\partial p_1}p_1}{D_2}\cdot
\dfrac{D_1}{p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}}\\
&=\dfrac{1}{{\varepsilon}_1}
-\dfrac{(p_2-c^{\prime})D_2}{p_1D_1}\cdot
\dfrac{{\varepsilon}_{12}}{{\varepsilon}_1}
\end{align*}
ここで${\varepsilon}_1$と${\varepsilon}_{12}$は価格の弾力性および交差弾力性である．
\begin{align*}
{\varepsilon}_1&=\dfrac{{p_1\dfrac{\partial D_1}{\partial p_1}}}{D_1},\\
{\varepsilon}_{12}&=\dfrac{{p_1\dfrac{\partial D_2}{\partial p_1}}}{D_2}.\\
\end{align*}
【解答終】
【メモ】
$n$財にケースに拡張できる
【メモ終】
【Further Reading】
Jean Tirole ‘The Theory of Industrial Organization’ The MIT Press（1988)
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