経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

間接税・直接税下の効用最大化

【問】 消費者需要関数（再掲）　次の消費者の最大化問題を解きなさい．． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& 　u(x,y)=x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}\\[2ex] s.t.&　p_1x_1+p_2x_2=m \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )= x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}+{\lambda}[m-({p_1x_1+p_2x_2})] \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}-{\lambda}p_1 \qquad (1)\\[2ex] 0=&(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}-{\lambda}p_2 \qquad (2)\\[2ex] 0=&m-({p_1x_1+p_2x_2})\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)\div(2)$ から， \[ \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}}{(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}} \] \[ \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_2}{(1-{\alpha})x_1} \] \[ x_2=\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})p_1}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 \] これを$(3)$に代入すると \[ m-p_1x_1-p_2\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})p_1}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 =m-p_1\Biggl[1+\dfrac{(1-{\alpha})}{{\alpha}}\Biggr]x_1=0 \] より， \begin{eqnarray*} x_1&=&\dfrac{{\alpha}m}{p_1}\\ x_2&=&\dfrac{(1-{\alpha})m}{p_2} \end{eqnarray*} となる．

【問】　第$1$財に税率$t$で間接税が加えられた時の次の消費者の最大化問題を解きなさい．． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& 　u(x,y)=x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}\\[2ex] s.t.&　(p_1+t)x_1+p_2x_2=m \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )= x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}+{\lambda}[m-({(p_1+t)x_1+p_2x_2})] \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}-{\lambda}(p_1+t) \qquad (4)\\[2ex] 0=&(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}-{\lambda}p_2 \qquad (5)\\[2ex] 0=&m-({p_1x_1+p_2x_2})\qquad (6) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．あとは工夫して解く．$(4)\div(5)$ から， \[ \dfrac{p_1+t}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}}{(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}} \] \[ \dfrac{p_1+t}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_2}{(1-{\alpha})x_1} \] \[ x_2=\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})(p_1+t)}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 \] これを$(6)$に代入すると \[ m-(p_1+t)x_1-p_2\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})(p_1+t)}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 =m-(p_1+t)\Biggl[1+\dfrac{(1-{\alpha})}{{\alpha}}\Biggr]x_1=0 \] より， \begin{eqnarray*} x_1&=&\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}\\ x_2&=&\dfrac{(1-{\alpha})m}{p_2} \end{eqnarray*} となる．

【問】　間接税が加えられた場合と同額の直接税を課した場合の次の消費者の最大化問題を解きなさい．． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& 　u(x,y)=x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}\\[2ex] s.t.&　p_1x_1+p_2x_2=m-t\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t} \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )= x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}+{\lambda}[m-t\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}-(p_1x_1+p_2x_2)] \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}-{\lambda}p_1 \qquad (7)\\[2ex] 0=&(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}-{\lambda}p_2 \qquad (8)\\[2ex] 0=&m-t\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}-(p_1x_1+p_2x_2)\qquad (9) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(7)\div(8)$ から， \[ \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}}{(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}} \] \[ \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{{\alpha}x_2}{(1-{\alpha})x_1} \] \[ x_2=\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})p_1}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 \] これを$(9)$に代入すると \[ m-t\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}-p_1x_1-p_2\Biggl[\dfrac{(1-{\alpha})p_1}{{\alpha}p_2}\Biggr]x_1 =m-t\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}-p_1\Biggl[1+\dfrac{(1-{\alpha})}{{\alpha}}\Biggr]x_1=0 \] より， \begin{eqnarray*} x_1&=&\dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}\dfrac{p_1+t(1-{\alpha})}{p_1} > \dfrac{{\alpha}m}{p_1+t}\\ x_2&=&\dfrac{(1-{\alpha})m}{p_2(p_1+t)}(p_1+t(1-{\alpha})) =\dfrac{(1-{\alpha})m}{p_2}-\dfrac{(1-{\alpha})mt{\alpha}}{p_2(p_1+t)} < \dfrac{(1-{\alpha})m}{p_2} \end{eqnarray*} となる．