経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

消費の$2$期モデルと貯蓄の条件

【問】次の消費の$2$期モデルに対し，消費者の最大化問題を解くことで消費関数を求めなさい．また第$1$期に貯蓄が行われる条件を求めなさい．ただし$x_i$を第$i$期の消費量，$y_i$を第$i$期の所得額とする． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& 　u(x,y)=x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}\\[2ex] s.t.&　x_1+\dfrac{x_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )= x_1^{\alpha}x_2^{1-{\alpha}}+{\lambda}[(y_1+\dfrac{y_2}{1+r})-(x_1+\dfrac{x_2}{1+r})] \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&{\alpha}x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}-{\lambda} \qquad (1)\\[2ex] 0=&(1-{\alpha})x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}-\dfrac{{\lambda}}{1+r} \qquad (2)\\[2ex] 0=&(y_1+\dfrac{y_2}{1+r})-(x_1+\dfrac{x_2}{1+r})\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)\div(2)$ から， \[ x_2=\dfrac{(1-{\alpha})}{{\alpha}}(1+r)x_1 \] これを$(3)$に代入すると \[ 0=(y_1+\dfrac{y_2}{1+r})-(x_1+\dfrac{(1-{\alpha})}{{\alpha}}x_1)) \] より， \begin{eqnarray*} x_1&=&{{\alpha}}(y_1+\dfrac{y_2}{1+r})\\ x_2&=&(1-{\alpha})((1+r)y_1+y_2)& \end{eqnarray*} となる．

貯蓄条件は，$y_1-x_1>0$なので， \[ y_1>\dfrac{{\alpha}}{1-{\alpha}}\dfrac{y_2}{(1+r)} \] となる．