経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

準線形の効用関数と上級財と中級財

【問】消費者の最大化問題を解くことで需要関数を求めなさい． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& 　u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+x_2\\[2ex] s.t.&　p_1x_1+p_2x_2=I \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )= \sqrt{x_1}+x_2+{\lambda}(I-p_1x_1-p_2x_2) \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{1}{2\sqrt{x_1}}-{\lambda}p_1 \qquad (1)\\[2ex] 0=&1-{\lambda}p_2 \qquad (2)\\[2ex] 0=&I-p_1x_1-p_2x_2\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)$と$(2)$ から$\lambda$を消去すると， \[ \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_1}} \] 従って \[ x_1=\dfrac{p_2^2}{4p_1^2} \] これを$(3)$に代入すると \[ \dfrac{p_2^2}{4p_1}+p_2x_2=I \] より， \[ x_2=\dfrac{I}{p_2}-\dfrac{p_2}{4p_1} \] となる．

$x_1,x_2$を$I$で偏微分すると， \begin{align*} \dfrac{\partial x_1}{\partial I}&=0\\ \dfrac{\partial x_2}{\partial I}&=\dfrac{1}{p_2}>0 \end{align*}