経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
準線形効用関数と需要の価格弾力性
【問】 ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題
\begin{align}
\max_{x,m}& \alpha \log_{}{(x)}+m\\[2ex]
s.t.& px+m=I
\end{align}
を解きなさい．
また，需要量$x$を元に，需要の価格弾力性を求めなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x,m,\lambda )=\alpha \log_{}{(x)}+m+\lambda
\left(I-px-m\right)．
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\begin{align}
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=\dfrac{\alpha}{x}
-\lambda p
\tag{1}\\[2ex]
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial m}=1-\lambda
\tag{2}\\[2ex]
0=&I-px-m\tag{3}
\end{align}
となる．(2) から，$\lambda =1$．これと(1)式から，
$x=\dfrac{\alpha}{p}$を得る．(3) に代入して，$m=I-px=I-\alpha +p$．
\[
\dfrac{dx}{dp}=\dfrac{-2{\alpha}}{p^2}
\]
なので需要の価格弾力性は
\[
{\varepsilon}_d=\dfrac{dx}{dp}\cdot\dfrac{p}{x}=\dfrac{-2{\alpha}}{p^2}\cdot\dfrac{p}{\dfrac{\alpha}{p}}=-2
\]
と一定値となる．
【解答終】
【Further Reading】
遠山智久『弱点克服 大学生のミクロ経済学』東京図書（2008）
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