経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

間接効用関数とラグランジュ乗数

【『経出る』例題7.5，『ワークブック』問7.18】類題

【問１】　次の最大化問題を考える． \begin{align} \max_{x_1,x_2,x_3}& u(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3\\[2ex] s.t. & p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=I \end{align} （１）ラグランジュの未定乗数法を用いて，最適解とそのときのラグランジュ乗数を求めなさい．
（２）目的関数に最適解を代入して，間接効用関数 $V(p_1,p_2,p_3,I)$ を求めなさい．
（３）$\dfrac{\partial V}{\partial I}$ を求めなさい．

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x,y,\lambda )=x_1x_2x_3+\lambda (I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3)． \] 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x_1}=x_2x_3-p_1\lambda \qquad (1)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x_2}=x_1x_3-p_2\lambda \qquad (2)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x_3}=x_1x_2-p_3\lambda \qquad (3)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3\qquad (4) \end{align} \right. \] あとは工夫して解く．$(1) \times x_1$, $(2) \times x_2$, $(3) \times x_3$ から， $p_1x_1{\lambda}=x_1x_2x_3$, $p_2x_2{\lambda}=x_1x_2x_3$, $p_3x_3{\lambda}=x_1x_2x_3$．これと (4) から $\lambda I=3x_1x_2x_3$．したがって， \begin{align} x_1&=\dfrac{\lambda I}{3p_1 \lambda}=\dfrac{I}{3p_1} \\[1ex] x_2&=\dfrac{\lambda I}{3p_2 \lambda}=\dfrac{I}{3p_2} \\[1ex] x_3&=\dfrac{\lambda I}{3p_3 \lambda}=\dfrac{I}{3p_3} \\[1ex] \end{align} ラグランジュ乗数は $\lambda I=3x_1x_2x_3 = \dfrac{I^3}{9p_1p_2p_3}$ より $\lambda = \dfrac{I^2}{9p_1p_2p_3}$．


2. 間接効用関数は \[ V(p_1,p_2,p_3,I)=\dfrac{I}{3p_1}\dfrac{I}{3p_2}\dfrac{I}{3p_3}= \dfrac{I^3}{27p_1p_2p_3}． \]


3. 間接効用関数を $I$ で偏微分すると \[ \dfrac{\partial V}{\partial I}(p_1,p_2,p_3)= \dfrac{I^2}{9p_1p_2p_3}． \] となり，ラグランジュ乗数と一致する．

【問２】　次の最大化問題を考える． \begin{align} \max_{x_1,x_2,x_3}& u(x_1,x_2,x_3)=(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}\\[2ex] s.t. & p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=I \end{align} （１）ラグランジュの未定乗数法を用いて，最適解とそのときのラグランジュ乗数を求めなさい．
（２）目的関数に最適解を代入して，間接効用関数 $V(p_1,p_2,p_3,I)$ を求めなさい．
（３）$\dfrac{\partial V}{\partial I}$ を求めなさい．

1. ラグランジュ関数を作ると， $ {\cal{L}}(x_1,x_2,x_3,\lambda)=(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}+\lambda\left(I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3\right). $

各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{array}{lll} 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_1} ={\alpha}(x_1)^{\alpha -1}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}-{\lambda}p_1 & \rightarrow {\lambda}p_1={\alpha}(x_1)^{\alpha -1}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma} &\qquad (1)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_2} ={\beta}(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta -1}(x_3)^{\gamma}-{\lambda}p_2 & \rightarrow {\lambda}p_2= {\beta}(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta -1}(x_3)^{\gamma} &\qquad (2)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_3} ={\gamma}(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma -1}-{\lambda}p_3 & \rightarrow {\lambda}p_3= {\gamma}(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma -1} &\qquad (3)\\[2ex] 0=I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3& & \qquad (4) \end{array} \right. \]
あとは工夫して解く．
• $(1) \div (2)$ から $\dfrac{\alpha}{\beta}x_1^{-1}x_2=\dfrac{p_1}{p_2} \Longrightarrow x_2=\dfrac{\beta p_1}{\alpha p_2}x_1$


• $(1) \div (3)$ から $\dfrac{\alpha}{\gamma}x_1^{-1}x_3=\dfrac{p_1}{p_3} \Longrightarrow x_3=\dfrac{\gamma p_1}{\alpha p_3}x_1$


• $(4)$ に代入すると， $p_1x_1+p_2\dfrac{\beta p_1}{\alpha p_2}x_1+p_3\dfrac{\gamma p_1}{\alpha p_3}x_1=I \Longrightarrow \dfrac{\alpha + \beta +\gamma}{\alpha}p_1x_1=I$


• $x_1=\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}$


• $x_2= \dfrac{\beta p_1}{\alpha p_2}\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1} =\dfrac{\beta}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}$


• $x_3= \dfrac{\gamma p_1}{\alpha p_3}\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1} =\dfrac{\gamma}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_3}$


ゆえに最適解は，$(x_1,x_2,x_3)=\left( \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}, \dfrac{\beta}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}, \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_3} \right)$．
ラグランジュ乗数は，たとえば (1) を使えば， \begin{align} \lambda &=\dfrac{\alpha}{p_1}\left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}\right)^{\alpha -1} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}\right)^{\beta} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_3}\right)^{\gamma} \\[2ex] &=\dfrac{I^{\alpha + \beta +\gamma -1}} {(\alpha + \beta +\gamma)^{\alpha + \beta +\gamma -1}} \left(\dfrac{\alpha}{p_1}\right)^{\alpha} \left(\dfrac{\beta}{p_2}\right)^{\beta} \left(\dfrac{\gamma}{p_3}\right)^{\gamma} \end{align}
2. 間接効用関数は， \[ V(p_1,p_2,p_3) =\left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}\right)^{\alpha} \left(\dfrac{\beta}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}\right)^{\beta} \left(\dfrac{\gamma}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}\right)^{\gamma} \]
3. 間接効用関数を $I$ で偏微分すると \[ \dfrac{\partial V}{\partial I}(p_1,p_2,p_3)= \dfrac{I^{\alpha + \beta +\gamma -1}} {(\alpha + \beta +\gamma)^{\alpha + \beta +\gamma -1}} \left(\dfrac{\alpha}{p_1}\right)^{\alpha} \left(\dfrac{\beta}{p_2}\right)^{\beta} \left(\dfrac{\gamma}{p_3}\right)^{\gamma}． \] となり，ラグランジュ乗数と一致する．