経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Stone–Geary型効用関数と下級財
【問】 ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題
\begin{align}
\max_{x,y}& \ u(x,y)={\alpha}\log_{}{(x-\bar{x})}-{\beta}\log_{}{(\bar{y}-y)}\\[2ex]
s.t.& px+qy=I
\end{align}
を解きなさい．
財$y$が下級財であることを示しなさい．
【解答】
$X=x-\bar{x}$, $Y=\bar{y}-y$とすると問題は, $x=X+\bar{x}$, $y=-Y+\bar{y}$なので，
\begin{align}
\max_{x,y}& {\alpha}\log_{}{X}-{\beta}\log_{}{Y}\\[2ex]
s.t.& pX-qY=I-p\bar{x}-q\bar{y}
\end{align}
となる．ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x,m,\lambda )={\alpha}\log_{}{X}-{\beta}\log_{}{Y}+\lambda
\left(I-p\bar{x}-q\bar{y}-pX+qY\right)．
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\begin{align}
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x}=\dfrac{{\alpha}}{X}-\lambda p
\tag{1}\\[2ex]
0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial m}=-\dfrac{{\beta}}{Y}+\lambda q
\tag{2}\\[2ex]
0=&I-p\bar{x}-q\bar{y}-pX+qY\tag{3}
\end{align}
となる．(1)$\div$(2)から，
\[
Y=\dfrac{p}{q}\cdot\dfrac{\beta}{\alpha}X
\]
(3) に代入して，
\[
pX-pX\dfrac{\beta}{\alpha}=I-p\bar{x}-q\bar{y}
\]
なので
\[
X=\dfrac{\alpha}{p({\alpha}-{\beta})}(I-p\bar{x}-q\bar{y}),
\]
\[
Y=\dfrac{\beta}{q({\alpha}-{\beta})}(I-p\bar{x}-q\bar{y}),
\]
なので
\[
y=\dfrac{-{\beta}I+p{\beta}\bar{x}+q{\alpha}\bar{y}}{q({\alpha}-{\beta})}
\]
となり，
\[
\dfrac{\partial y}{\partial I}<0
\]
が示され${\alpha}>{\beta}$であれば下級財であることがわかる．
【解答終】
【メモ】
効用関数としては備えるべき条件を備えてないかもしれない．単にラグランジュ乗数法で解いてみただけになっている恐れはある．
また効用関数が$u(x,y)={\alpha}\log_{}{(x-\bar{x})}+{\beta}\log_{}{(\bar{y}-y)}$であると下級財は生成しない．
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