経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
短期と長期の費用関数
【問】 $L$を労働とし，$K$を資本とした時の生産関数が
\[
Y=AL^{\alpha}K^{1-{\alpha}}
\]
で表されているとする．また労働賃金率を$w$，資本レンタル率を$r$とする．
(1) 資本が固定されているときの短期費用関数を求めよ（$Y$の式で表せ）．
(2) 資本も調整できる時の長期費用関数を求めよ（$Y$の式で表せ）．
【解答】
(1) $Y=AL^{\alpha}K^{1-{\alpha}}$より，$L=(YA^{-1}K^{{\alpha}-1})^{\frac{1}{\alpha}}$．
費用は$C=wL+rK$なので，短期費用を$SC(Y;K)$と書くことにすると，
\[
SC(Y;K)=w(YA^{-1}K^{{\alpha}-1})^{\frac{1}{\alpha}}+rK
\]
となる．
(2) $K$を変化させる時，$\dfrac{\partial SC}{\partial K}=0$を解けばよいので，
\[
\dfrac{\partial SC}{\partial K}=\dfrac{{\alpha}-1}{{\alpha}}wY^{\frac{1}{\alpha}}A^{-\frac{1}{\alpha}}K^{-\frac{1}{\alpha}}+r=0
\]
より，
\[
K=(\dfrac{w}{r})^{\alpha}(\dfrac{1-{\alpha}}{\alpha})^{\alpha}Y^{\alpha}A^{-1}
\]
従って，
\begin{align*}
LC(Y)&=wY^{\frac{1}{\alpha}}A^{-\frac{1}{\alpha}}\Bigl[(\dfrac{w}{r})^{\alpha}(\dfrac{1-{\alpha}}{\alpha})^{\alpha}Y^{\alpha}A^{-1}\Bigr]^{\frac{1}{\alpha}}
+r(\dfrac{w}{r})^{\alpha}(\dfrac{1-{\alpha}}{\alpha})^{\alpha}Y^{\alpha}A^{-1}\\
&=\Bigl[(\dfrac{1-{\alpha}}{\alpha})^{{\alpha}-1}+(\dfrac{1-{\alpha}}{\alpha})^{{\alpha}}\bigr]w^{\alpha}r^{1-{\alpha}}A^{-1}Y
\end{align*}
となる．
【解答終】
【Further Reading】
遠山智久『弱点克服 大学生のミクロ経済学』東京図書（2008）
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