経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
間接効用関数の性質
【問】 効用関数$u(x)$，価格$p$，予算$m$に対し，
次の問題を解いて得られる関数を，間接効用関数という．
\begin{align*}
v(p,m)=\max_{x}& u(x)\\[2ex]
s.t.& px=m
\end{align*}
この時次を示しなさい．
(1) $v(p,m)$は$p$に関して単調非増加である．同様に$m$に関して単調非減少である．
(2) $v(p,m)$は$(p,m)$について$0$次斉次である．
(3) $v(p,m)$は$p$に関して準凸関数である．
【解答】
(1) $B(p)=\{x \mid px\leq m\}$, $B(p^{\prime})=\{x \mid p^{\prime}x\leq m\}$とし，$p^{\prime}\geq p$とする．
この時，$p^{\prime}x \geq px$なので，$B(p^{\prime})\subset B(p)$である．
従って$v(p^{\prime},m)=\max_{x\in B(p^{\prime})}u(x) \leq v(p,m)=\max_{x\in B(p)}u(x)$となる．
$B(m)=\{x \mid px\leq m\}$, $B(m^{\prime})=\{x \mid px\leq m^{\prime}\}$とし，$m^{\prime}\geq m$とする．
この時，$B(m^{\prime})\supset B(m)$である．
従って$v(p,m^{\prime})=\max_{x\in B(m^{\prime})}u(x) \geq v(p,m)=\max_{x\in B(m)}u(x)$となる．
(2) $B(p,m)=\{x \mid px\leq m\}$に対し，価格と予算を一斉に$k$倍すると$B(kp,km)=B(p,m)$なので，
$v(kp,km)=\max_{x\in B(kp, km)}u(x) = v(p,m)=\max_{x\in B(p,m)}u(x)$となる．
(3) $v(p,m)\leq t, v(p^{\prime},m)\leq t, p^{\prime\prime}={\lambda}p+(1-{\lambda})p^{\prime}$とする．
示すべきは$v(p^{\prime\prime},m)\leq t$である．
$B(p)=\{x \mid px\leq m\}$, $B(p^{\prime})=\{x \mid p^{\prime}x\leq m\}$, $B(p^{\prime\prime})=\{x \mid p^{\prime\prime}x\leq m\}$とすると，
$B(p)\cup B(p^{\prime})\supset B(p^{\prime\prime})$が言える．
もしそうでないとすると，${\lambda}px+(1-{\lambda})p^{\prime}x\leq m$だが，$px > m$, $p^{\prime}x>m$となる$x$が存在することになる．
従って，${\lambda}px+(1-{\lambda})p^{\prime}x > m$ となり，${\lambda}px+(1-{\lambda})p^{\prime}x\leq m$に反する．従って
\begin{align*}
v(p^{\prime\prime},m)&=\max_{x\in B(p^{\prime\prime})}u(x)\\
&\leq \max_{x\in B(p)\cup B(p^{\prime})}\\
&=\max\{\max_{x\in B(p)}u(x), \max_{x\in B(p^{\prime})}u(x)\}\leq t.
\end{align*}
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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