経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
支出関数の性質
【問】 効用関数$u(x)$，価格$p$，効用水準$u$に対し，
次の問題を解いて得られる関数を，支出関数という．
\begin{align*}
e(p,u)=\min_{x}& \ px\\[2ex]
s.t.& u(x)\geq u
\end{align*}
この時次を示しなさい．
(1) $e(p,u)$は$p$に関して単調非減少である．
(2) $e(p,u)$は$p$に関して$1$次斉次である
(3) $e(p,u)$は$p$に関して凹関数である．
【解答】
(1) $p^{\prime}\geq p$とする．この時，$p^{\prime}x\geq px$なので，
\[
e(p^{\prime},u)=\min_{u(x)\geq u} \ p^{\prime}x \geq e(p,u)=\min_{u(x)\geq u} \ x.
\]
(2) $k>0$に対して，
\[
e(kp,u)=\min_{u(x)\geq u} \ kpx \geq k\min_{u(x)\geq u} \ px=ke(p,u).
\]
(3) $0\leq {\lambda} \leq 1$に対して，$px\geq e(p,u), p^{\prime}x\geq e(p^{\prime},u)$なので
\begin{align*}
e({\lambda}p+(1-{\lambda})p^{\prime},u)&=\min_{u(x)\geq u} \bigl[{\lambda}px+(1-{\lambda})p^{\prime}x\bigr]\\
&\geq {\lambda}e(p,u)+(1-{\lambda})e(p^{\prime},u).
\end{align*}
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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