経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
間接効用関数と支出関数の双対性
【問】 効用関数$u(x)$，価格$p$，予算$m$，効用水準$u$に対し，
次のふたつの問題を考える．
\begin{align*}
(P) v(p,m)=\max_{x}& \ u(x)\\[2ex]
s.t.& px\leq m
\end{align*}
\begin{align*}
(D) e(p,u)=\min_{x}& \ px\\[2ex]
s.t.& u(x)\geq u
\end{align*}
また次を仮定する．
(a) 効用関数は連続である
(b) 選好は局所非飽和である．すなわち，どのような消費であっても、その近傍にさらに好ましい（効用が高い）組み合わせが存在する
(c) いずれの問題にも解が存在する．
この時次を示しなさい．
(1) (P)の解を$x^*$とし，$u=u(x^*)$とすると，$x^*$は(D)の解である．
(2) (D)の解を$x^*$とし，$m=px^*$とし，$m≥0$を仮定すると，$x^*$は(P)の解である．
【解答】
(1) $x^*$が(D)の解でないとする．すると$x^{\prime}$が存在して，$px^{\prime} < px^*$で，$u(x^{\prime})\geq u(x^*)$となる．
選好は局所非飽和であるので，$x^{\prime}$の十分近くに$x^{\prime\prime}$が存在して，
$px^{\prime\prime} < px^*\leq m$かつ$u(x^{\prime\prime})>u(x^*)$となり，$x^*$が(P)の解であることに反する．
(2) $x^*$が(P)の解でないとする．すると$x^{\prime}$が存在して，$u(x^{\prime})> u(x^*)$で$px^{\prime}\leq px^*=m$となる．
$px^*>0$で，効用関数が連続なので，$\exists x^{\prime\prime}$で$px^{\prime\prime}< px^*=m$かつ$u(x^{\prime\prime})> u(x^*)$となる．
これは$x^*$が(D)の解であることに反する．
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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