経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Cobb-Douglas技術に対する，費用最小化
【問】 価格$w_1, w_2$，生産量$y$に対し，
次の問題を考える．
\begin{align*}
c(w_1,w_2,y)=& \min_{x_1,x_2}w_1x_1+w_2x_2\\[2ex]
s.t.& Ax_1^{\alpha}y^{1-{\alpha}}=y
\end{align*}
生産量$x_1,x_2$を求めなさい．
費用関数$c(w_1,w_2,y)$を求めなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x_1,x_2,\lambda )=
w_1x_1+w_2x_2+{\lambda}(y-Ax_1^{\alpha}y^{1-{\alpha}})
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\[
\left\{
\begin{align}
0=&w_1-{\alpha}{\lambda}Ax_1x_1^{{\alpha}-1}x_2^{1-{\alpha}}
\qquad (1)\\[2ex]
0=&w_2-{1-{\alpha}}{\lambda}Ax_1x_1^{{\alpha}}x_2^{-{\alpha}}
\qquad (2)\\[2ex]
0=&y-Ax_1^{\alpha}y^{1-{\alpha}}\qquad (3)
\end{align}
\right.
\]
あとは工夫して解く．$(1)$と$(2)$ から$\lambda$を消去すると，
\[
\dfrac{w_1}{w_2}=\dfrac{{\alpha}x_2}{(1-{\alpha})x_1}
\]
これを$(3)$に代入すると
\[
x_1=\dfrac{y}{A}\Bigl(\dfrac{w_2{\alpha}}{w_1(1-{\alpha})}\Bigr)^{1-{\alpha}}
\]
従って
\[
x_2=\dfrac{y}{A}\Bigl(\dfrac{w_1(1-{\alpha})}{w_2{\alpha}}\Bigr)^{{\alpha}}
\]
となる．よって
\[
c(w_1,w_2,y)=\dfrac{y}{A}\Bigl[\bigl(\dfrac{\alpha}{1-{\alpha}}\bigr)^{1-{\alpha}}+\bigl(\dfrac{1-\alpha}{{\alpha}}\bigr)^{\alpha}\Bigr]w_1^{\alpha}w_2^{1-{\alpha}}
\]
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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