経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
CES技術に対する，費用最小化
【問】 価格$w_1, w_2$，生産量$y$に対し，
次の問題を考える．
\begin{align*}
c(w_1,w_2,y)=& \min_{x_1,x_2}w_1x_1+w_2x_2\\[2ex]
s.t.& x_1^{\rho}+x_2^{\rho}=y^{\rho}
\end{align*}
生産量$x_1,x_2$を求めなさい．
費用関数$c(w_1,w_2,y)$を求めなさい．
【解答】
ラグランジュ関数を作ると，
\[
{\cal L}(x_1,x_2,\lambda )=
w_1x_1+w_2x_2+{\lambda}(y^{\rho}-x_1^{\rho}-x_2^{\rho})
\]
各変数で偏微分してイコールゼロとおくと，
\[
\left\{
\begin{align}
0=&w_1-{\rho}{\lambda}x_1^{{\rho}-1}
\qquad (1)\\[2ex]
0=&w_2-{\rho}{\lambda}x_2^{{\rho}-1}
\qquad (2)\\[2ex]
0=&y^{\rho}-x_1^{\rho}-x_2^{\rho}\qquad (3)
\end{align}
\right.
\]
あとは工夫して解く．$(1)$と$(2)$ から$\lambda$を消去すると，
\begin{align}
\dfrac{x_1}{x_2}&=\Bigl(\dfrac{w_1}{w_2}\Bigr)^{{\rho}-1}\\
x_2&=\Bigl(\dfrac{w_2}{w_1}\Bigr)^{{\rho}-1}x_1
\end{align}
これを$(3)$に代入すると
\[
x_1^{\rho}+\Bigl(\dfrac{w_2}{w_1}\Bigr)^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}x_1^{\rho}=y^{\rho}
\]
\[
\dfrac{1}{w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}}\Bigl(w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr)x_1^{\rho}=y^{\rho}
\]
従って
\[
x_1=w_1^{\frac{1}{{\rho}-1}}\Bigl[w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr]^{-\frac{1}{{\rho}}}y
\]
\[
x_2=w_2^{\frac{1}{{\rho}-1}}\Bigl[w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr]^{-\frac{1}{{\rho}}}y
\]
となる．よって
\begin{align}
c(w_1,w_2,y)&=\Bigl[w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr]\Bigl[w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr]^{-\frac{1}{{\rho}}}y\\
&=\Bigl[w_1^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}+w_2^{\frac{\rho}{{\rho}-1}}\Bigr]^{\frac{{\rho}-1}{{\rho}}}y
\end{align}
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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