経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
CES関数の極限とLeontief関数
【問】 CES関数に対し，
\[
\lim_{{\rho}\to -\infty}({\alpha}x_1^{\rho}+(1-{\alpha})x_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}=\min (x_1,x_2)
\]
となることを示しなさい．
【解答】
$X=\min (x_1,x_2)$とし，$x_i=Xy_i$とする．このとき，$y_i=\dfrac{x_i}{X}\geq 1$でどちらかは，$y_i=1$．
\begin{align*}
({\alpha}x_1^{\rho}+(1-{\alpha})x_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}&=({\alpha}(Xy_1)^{\rho}+(1-{\alpha})(Xy_2)^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}\\
&=X({\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}
\end{align*}
このことより，
\[
\lim_{{\rho}\to -\infty}({\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}=1
\]
を示せばよい．
(1) ${\rho}\to -\infty$とするのだから，${\rho}<0$で$y_i\geq 1$なのだから，$y_i^{\rho}\leq 1$．
\[
{\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho}\leq {\alpha}+(1-{\alpha})=1.
\]
${\rho}<0$なので，
\[
({\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}\geq 1^{\frac{1}{{\rho}}}=1.
\]
(2)
$\min (y_1,y_2)=1$だから，一般性を失うことなく$y_1=1\leq y_2$としてよい．
$y_2^{\rho}>0$なので，
\[
{\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho}= {\alpha}+(1-{\alpha})y_2\geq {\alpha}..
\]
従って，${\rho}<0$なので，
\[
({\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}\leq {\alpha}^{\frac{1}{\rho}}.
\]
このとき${\rho} \to -\infty$とすると，$\dfrac{\log_{}{\alpha}}{{\rho}}=0$なので，
\[
{\alpha}^{\frac{1}{\rho}}=\exp{(\log_{}{{\alpha}^{\frac{1}{\rho}}})}=\exp{\dfrac{\log_{}{\alpha}}{{\rho}}}\to \exp{0}
\]
従って，
\[
\lim_{{\rho}\to -\infty}({\alpha}y_1^{\rho}+(1-{\alpha})y_2^{\rho})^{\frac{1}{{\rho}}}\leq 1
\]
となる．
【解答終】
【メモ】
この問題はChatGPT5.2によって生成した（2026.2.4）プロンプトは「CES関数について教えてください」「${\rho}\to -\infty$のときLeontiefになることの証明を教えてください」
【メモ】
Cobb-Douglus関数とCES関数の限界代替率（marginal rate of substitute）参照
【メモ終】
【Further Reading】
『経出る』p.230
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