経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

【『経出る』練習問題7.5】類題．CES関数の代替の弾力性．

【問】　次の最大化問題について答えなさい．ただし ${\alpha}_1, {\alpha}_2 > 0$ とする． \begin{align} \max_{x_1,x_2}& u(x_1,x_2) =\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}}\\[2ex] s.t. & p_1x_1+p_2x_2=I \end{align}
(1)　第 $1$ 財，第 $2$ 財に対する需要関数 $x^{*}_1(p_1, p_2, I)$, $x^{*}_2(p_1, p_2, I)$ をラグランジュの未定乗数法を使って求めなさい．

(2)　最適消費の比 $\dfrac{x^{*}_1(p_1, p_2, I)}{x^{*}_2(p_1, p_2, I)}$ を価格比 $\dfrac{p_1}{p_2}$ の関数と見たときの弾力性（代替の弾力性） \[ \dfrac{d(x^{*}_1/x^{*}_2)}{d(p_1/p_2)}\bigg/\dfrac{(x^{*}_1/x^{*}_2)}{(p_1/p_2)} \] を求めなさい．

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,\lambda )=\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}} +\lambda (I-p_1x_1-p_2x_2)． \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&{{\alpha}_1}{\rho}(x_1)^{\rho -1}\dfrac{1} {\rho}\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}-1} -p_1\lambda = {{\alpha}_1}(x_1)^{\rho -1}\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}-1} -p_1\lambda \qquad (1)\\[2ex] 0=&{{\alpha}_1}{\rho}(x_2)^{\rho -1}\dfrac{1} {\rho}\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}-1} -p_2\lambda = {{\alpha}_1}(x_2)^{\rho -1}\left\{{{\alpha}_1}(x_1)^{\rho}+{{\alpha}_2}(x_2)^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}-1} -p_2\lambda \qquad (2)\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=I-p_1x_1-p_2x_2\qquad (3) \end{align} \right. \]


3. あとは工夫して解く．$(1)\div(2)$ から， $\dfrac{{\alpha}_1}{{\alpha}_2}\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^{\rho -1} =\dfrac{p_1}{p_2}$． ゆえに ${x_1}=\left(\dfrac{{\alpha}_2p_1}{{\alpha}_1p_2}\right)^{\frac{1}{\rho -1}}x_2$．これを(3)に代入してうまく変形する． \begin{align} 0&=I-\left(\dfrac{{\alpha}_2p_1}{{\alpha}_1p_2}\right)^{\frac{1}{\rho -1}}p_1x_2+p_2x_2\\[2ex] &=I-\dfrac{p_1({\alpha}_2p_1)^{\frac{\rho}{\rho -1}} +p_2({\alpha}_1p_2)^{\frac{\rho}{\rho -1}}} {({\alpha}_1p_2)^{\frac{1}{\rho -1}}}x_2\\[2ex] \end{align} $\therefore x_2^{*}(p_1, p_2, I)=\dfrac{({\alpha}_1p_2)^{\frac{1}{\rho -1}}I} {p_1({\alpha}_2p_1)^{\frac{\rho}{\rho -1}} +p_2({\alpha}_1p_2)^{\frac{\rho}{\rho -1}}}$を得る．同時に， $x_1^{*}(p_1, p_2, I)=\dfrac{({\alpha}_2p_1)^{\frac{1}{\rho -1}}I} {p_1({\alpha}_2p_1)^{\frac{\rho}{\rho -1}} +p_2({\alpha}_1p_2)^{\frac{\rho}{\rho -1}}}$を得る


4. 最適消費の比は \[ \dfrac{x_1^{*}(p_1, p_2, I)}{x_2^{*}(p_1, p_2, I)}= \left(\dfrac{{\alpha}_2p_1}{{\alpha}_1p_2}\right)^{\frac{1}{\rho -1}} \] を満たす．よって代替の弾力性は \begin{align} \dfrac{d(x^{*}_1/x^{*}_2)}{d(p_1/p_2)}\bigg/\dfrac{(x^{*}_1/x^{*}_2)}{(p_1/p_2)}&=\frac{1}{\rho -1}\left(\dfrac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right)^{\frac{1}{\rho -1}} \left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\rho -1}-1}\bigg/ \left(\dfrac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right)^{\frac{1}{\rho -1}}\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\rho -1}-1} =\frac{1}{\rho -1}\\[2ex] \end{align} となる．