経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Linear 技術に対する，費用最小化
【問】 価格$w_1, w_2$，生産量$y$に対し，
次の問題を考える．
\begin{align*}
c(w_1,w_2,y)=& \min_{x_1,x_2}w_1x_1+w_2x_2\\[2ex]
s.t.& x_1+x_2=y
\end{align*}
生産量$x_1,x_2$を求めなさい．
費用関数$c(w_1,w_2,y)$を求めなさい．
【解答】
$x_2=y-x_1$より，
\[
\min_{0\leq x_1\leq y}w_1x_1+w_2(y-x_1)=(w_1-w_2)x_1+w_2y
\]
を解けばよい．
(1) $w_1 > w_2$のとき，$x_1=0$, $c(w_1,w_2,y)=w_2y$
(2) $w_1 < w_2$のとき，$x_1=y$, $c(w_1,w_2,y)=w_1y$
(3) $w_1 = w_2$のとき, $c(w_1,w_2,y)=w_1y=w_2y$
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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