経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

Hotellingの補題

【問】　供給関数$y(p)$に対し，次の利潤関数を考える． \[ {\pi}(p)=py(p) \] $y^*$で利潤最大となり，$p_i >0$であるならば， \[ y_i(p^*)=\dfrac{\partial {\pi}(p^*)}{\partial p_i}, \quad i=1,\ldots n \] となることを示せ．

【解答】

$g(p)={\pi}(p)-py^*$とおくと，$g(p)\leq 0$で$g(p^*)=0$だから（内点解であるので）$1$階条件より \[ \dfrac{\partial {g}(p^*)}{\partial p_i}=\dfrac{\partial {\pi}(p^*)}{\partial p_i}-y_i^*=0 \] となる．

【解答終】

【Further Reading】

Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)

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