経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

労働と余暇：効用関数がコブ・ダグラス型【『経出る』練習問題7.6】

【問】　消費材の価格を $p$ ，労働賃金率を $w$，最大限使える時間を $H$ とする．消費材の消費量を $x$．労働時間を $l$，余暇時間を $h$ とする． 効用関数が $u(h, x)=h^{\alpha}x^{\beta}$ であるとき，効用を最大化する労働時間を求めなさい．

• 予算制約は \[ px=wl \] となる．$l+h=H$ より，$l$ を消去して $h$ と $x$ の式で書くと， \begin{align} px&=w(H-h)\\[2ex] &\Longleftrightarrow wh+px=Hw \end{align} したがって，解くべき問題は， \begin{align} \max_{h,x}& u(h,x)=h^{\alpha}x^{\beta}\\[2ex] s.t. & wh+px=Hw \end{align}


• ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(c_1,c_2,\lambda )=h^{\alpha}x^{\beta} +\lambda \left(Hw-wh-px\right)． \]


• 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial h} ={\alpha}h^{{\alpha}-1}x^{{\beta}}-w\lambda \tag{1}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial x} ={\beta}h^{{\alpha}}x^{{\beta}-1}-p\lambda \tag{2}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=Hw-wh-px\tag{3} \end{align} \]


• あとは工夫して解く． $(1)\div (2)$ から $\dfrac{\alpha}{\beta}h^{-1}x=\dfrac{w}{p}$． したがって，$x=\dfrac{\beta w}{\alpha p}h$ これを(3)に代入すると， $wh+p\dfrac{\beta w}{\alpha p}h=\dfrac{\alpha +\beta}{\alpha}wh=Hw$ となり，$h =\dfrac{\alpha}{\alpha +\beta}H$ を得る．したがって，効用を最大化する労働時間は \[ l＝H-h=H-\dfrac{\alpha}{\alpha +\beta}H=\dfrac{\beta}{\alpha +\beta}H \] となる．