経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

行列演算とAHP(階層化分析法)

【問】
　$\boldsymbol{w}=(w_1, w_2, \ldots w_n){\prime}$，$A=(a_{ij})$に対し，$a_{ij}=\dfrac{w_i}{w_j}$とする．このとき$A\boldsymbol{w}$の計算をしなさい．

【解答】

\begin{align} A\boldsymbol{w}& =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ \vdots\\ w_n\\ \end{pmatrix}\\[2ex] & =\begin{pmatrix} \dfrac{w_1}{w_1} &\dfrac{w_1}{w_2} & \cdots & \dfrac{w_1}{w_n}\\ \dfrac{w_2}{w_1} &\dfrac{w_2}{w_2} & \cdots & \dfrac{w_2}{w_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{w_n}{w_1} &\dfrac{w_n}{w_2} & \cdots & \dfrac{w_n}{w_n}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ \vdots\\ w_n\\ \end{pmatrix}\\[2ex] & =\begin{pmatrix} \dfrac{w_1}{w_1}w_1+\dfrac{w_1}{w_2}w_2+\cdots +\dfrac{w_1}{w_n}w_n\\ \dfrac{w_2}{w_1}w_1+\dfrac{w_2}{w_2}w_2+\cdots +\dfrac{w_2}{w_n}w_n\\ \vdots\\ \dfrac{w_n}{w_1}w_1+\dfrac{w_n}{w_2}w_2+\cdots +\dfrac{w_n}{w_n}w_n\\ \end{pmatrix}\\[2ex] & =n\begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ \vdots\\ w_n\\ \end{pmatrix}\\[2ex] &=n\boldsymbol{w} \end{align}

【解答終】

【メモ】

　この場合，$n$は$A$の固有値である．

【メモ終】

【Further Reading】
刀根薫『ゲーム感覚意思決定法 AHP入門』日科技連（1986）

ふろく（２）応用問題一覧へ