経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

正則行列の固有値

【問】　正則行列$A$に対して，${\lambda}$が$A$の固有値であれば，${\lambda}^{-1}$は$A^{-1}$の固有値である．

【解答】

${\lambda}$は$A$の固有値なので，$x\neq 0$に対して \[ Ax={\lambda}x \] が成立する．従って \begin{align*} A^{-1}Ax&=A^{-1}{\lambda}x\\ x&={\lambda}A^{-1}x\\ A^{-1}x&={\lambda}^{-1}x. \end{align*}

【解答終】

【メモ】

$A$が正則であることと，$0$が$A$の固有値でないことは同値である．

【Further Reading】

R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix analysis, second edition, Cambridge University Press (2013)

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