経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
分散共分散行列の非負定値性
$
C
=\begin{pmatrix}
{\sigma}^2_{1} & {\sigma}_{12} & \cdots & {\sigma}_{12}\\
{\sigma}_{21} & {\sigma}^2_{2} & \cdots & {\sigma}_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\sigma}_{n1} & {\sigma}_{n2} & \cdots & {\sigma}^2_{n}
\end{pmatrix}
$
を分散共分散行列，
$\boldsymbol{x}=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\\
\end{pmatrix}
$
を変数ベクトルとする．
【問】 $C$は非負正定値であること，
すなわち，任意の$\boldsymbol{x}$に対し，
\[
\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x} \geq 0
\]
であることを示しなさい．
【解答】
分散共分散行列の出方を，ポートフォリオ理論の立場から復習しよう．次のデータが与えられたとする．
\[
\begin{array}{ccccc}
銘柄 & S_1 & S_2 & \ldots & S_n\\
第1期 & r_{11} & r_{12} & \ldots & r_{1n}\\
第2期 & r_{21} & r_{22} & \ldots & r_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
第t期 & r_{t1} & r_{t2} & \ldots & r_{tn}\\
平均 & r_{1} & r_{2} & \ldots & r_{n}\\
\end{array}
\]
これらから，導かれるポートフォリオは
\[
\begin{array}{cccccc}
銘柄 & S_1 & S_2 & \ldots & S_n&x_1S_1+x_2S_2\cdots x_nS_n\\
比率& x_1 & x_2 & \ldots & x_n& x_1+x_2+\cdots +x_n=1\\
第1期 & r_{11}x_1 & r_{12}x_2 & \ldots & r_{1n}x_n &r_{11}x_1+ r_{12}x_2+\cdots r_{1n}x_n\\
第2期 & r_{21}x_1 & r_{22}x_2 & \ldots & r_{2n}x_n &r_{21}x_1+ r_{22}x_2+\cdots r_{2n}x_n\\ \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots \\
第t期 & r_{t1}x_1 & r_{t2}x_2 & \ldots & r_{tn}x_n &r_{t1}x_1+ r_{t2}x_2+\cdots r_{tn}x_n\\\hline
平均& r_1x_1 & r_2x_2 & \ldots & r_nx_n&r
\end{array}
\]
であるので，
\[
\begin{array}{ccccc}
銘柄 & S_1の偏差 & S_2の偏差 & \ldots & S_nの偏差\\
第1期 & r_{11}x_1-r_1x_1 & r_{12}x_2-r_1x_2 & \ldots & r_{1n}x_n-r_1x_n\\
第2期 & r_{21}x_1-r_1x_1 & r_{22}x_2-r_1x_2 & \ldots & r_{2n}x_n-r_1x_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
第t期 & r_{t1}x_1-r_1x_1 & r_{t2}x_2-r_1x_2 & \ldots & r_{tn}x_n-r_1x_n\\
\end{array}
\]
を得る．従って，
\begin{eqnarray*}
第i期のポートフォリオの偏差&=&\sum_{j=1}^{n}(r_{ij}x_n-r_1x_n)\\
0\leq 分散&=&(偏差)^2の平均\\
&=&\dfrac{1}{t}\sum_{i=1}^{t}\Bigl(\sum_{j=1}^{n}(r_{ij}-r_j)x_j\Bigr)^2\\
&=&\dfrac{1}{t}\sum_{i=1}^{t}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(r_{ij}-r_j)(r_{ik}-r_k)x_jx_k\\
&=&\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\Bigl[\sum_{i=1}^{t}\dfrac{1}{t}(r_{ij}-r_j)(r_{ik}-r_k)\Bigr]x_jx_k\\
&=&\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\sigma}_{jk}x_jx_k
\end{eqnarray*}
ここで，$\displaystyle {\sigma}_{jk}=\sum_{i=1}^{t}\dfrac{1}{t}(r_{ij}-r_j)(r_{ik}-r_k)$（共分散という）．特に{$\sigma_{jj}$}を分散といい，ふつうは${\sigma}_j^2$と書くので，主張が示された．
【解答終】
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