経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
MVモデルの凸性
【問】
$C$を対称な非負定置行列とする．このとき$2$次形式
\[
f(x)=x^{\top}Cx
\]
は凸関数であることを示しなさい．
【解答】
\begin{eqnarray*}
f({\lambda}x+(1-{\lambda})y)&=&f(y+{\lambda}(x-y))\\
&=&(y+{\lambda}(x-y))^{\top}C(y+{\lambda}(x-y))\\
&=&(y+{\lambda}(x-y))^{\top}((Cy+C({\lambda}(x-y))\\
&=&y^{\top}Cy+y^{\top}C{\lambda}(x-y)+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+y^{\top}C{\lambda}(x-y)+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}^2(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+\Bigl({\lambda}y^{\top}C(x-y)\Bigr)^{\top}+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}^2(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}C^{\top}(y^{\top})^{\top}+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}^2(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}^2(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+2{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}^2(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y)\\
&=&y^{\top}Cy+2{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}C{\lambda}(x-y) \quad ∵ {\lambda}\in [0,1]\\
&\leq&y^{\top}Cy+2{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}(x-y)^{\top}(Cx-Cy)\\
&=&y^{\top}Cy+2{\lambda}(x-y)^{\top}Cy+{\lambda}(x^{\top}Cx-x^{\top}Cy-y^{\top}Cx+y^{\top}Cy)\\
&=&y^{\top}Cy+2{\lambda}x^{\top}Cy-2{\lambda}y^{\top}Cy+{\lambda}(x^{\top}Cx-x^{\top}Cy-y^{\top}Cx+y^{\top}Cy)\\
&=&{\lambda}x^{\top}Cx+(1-{\lambda})y^{\top}Cy+2{\lambda}x^{\top}Cy+{\lambda}(-x^{\top}Cy-y^{\top}Cx)\\
&=&{\lambda}x^{\top}Cx+(1-{\lambda})y^{\top}Cy+2{\lambda}x^{\top}Cy+{\lambda}(-x^{\top}Cy-(y^{\top}Cx)^{\top})\\
&=&{\lambda}x^{\top}Cx+(1-{\lambda})y^{\top}Cy+2{\lambda}x^{\top}Cy+{\lambda}(-x^{\top}Cy-(x^{\top}C^{\top}(y^{\top})^{\top})\\
&=&{\lambda}x^{\top}Cx+(1-{\lambda})y^{\top}Cy+2{\lambda}x^{\top}Cy+{\lambda}(-x^{\top}Cy-x^{\top}Cy)\\
&=&{\lambda}x^{\top}Cx+(1-{\lambda})y^{\top}Cy\\
&=&{\lambda}f(x)+(1-{\lambda})f(y).
\end{eqnarray*}
【解答終】
【Further Reading】
今野浩『理財工学Ｉ』日科技連（1995）
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