経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
一対比較行列の固有値と相加相乗平均
【問】
$n$次の一対比較行列の最大固有値を${\lambda}_{max}$とする．このとき${\lambda}_{max}\geq n$であることを示しなさい．
【解答】
\begin{eqnarray*}
Aw={\lambda}_{max}w&\Leftrightarrow&\sum_{j=1}^{n}a_{ij}w_j={\lambda}_{max}w_i, i=1,2,\ldots , n\\
&\Leftrightarrow&{\lambda}_{max}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{w_j}{w_i}, i=1,2,\ldots , n\\
&\Rightarrow&n{\lambda}_{max}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\dfrac{w_j}{w_i}\\
&\Leftrightarrow&n{\lambda}_{max}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}+\sum_{i < j}\Biggl(a_{ij}\dfrac{w_i}{w_j}+\dfrac{1}{a_{ij}}\dfrac{w_j}{w_i}\Biggr)\\
&\Leftrightarrow&n{\lambda}_{max}=n+\sum_{i < j}\Biggl(y_{ij}+\dfrac{1}{y_{ij}}\Biggr), \quad y_{ij}=a_{ij}\dfrac{w_i}{w_j}\\
&\Leftrightarrow&{\lambda}_{max}=1+\dfrac{1}{n}\sum_{i < j}\Biggl(y_{ij}+\dfrac{1}{y_{ij}}\Biggr)\\
&\geq&1+\dfrac{1}{n}\sum_{i < j}2=1+\dfrac{2}{n}\dfrac{n(n-1)}{2}=1+n-1=n.
\end{eqnarray*}
等号が成立するのは$y_{ij}=\dfrac{1}{y_{ij}}$のとき，即ち，$y_{ij}=1\Leftrightarrow a_{ij}=\dfrac{w_i}{w_j}$のときであり，
そのとき$a_{ij}=a_{ik}a_{kj}$が成り立つ（整合的）．
【解答終】
【Further Reading】
刀根薫『ゲーム感覚意思決定法 AHP入門』日科技連（1986）
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