経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
固有多項式の係数：トレースと行列式
【問】
正方行列
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots & a_{1n} \\
a_{21}&a_{22}& \dots &a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
a_{n1} &a_{n2}&\dots &a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\]
について，その固有多項式
\[
\det ({\lambda}E-A)={\lambda}^n+c_1{\lambda}^{n-1}+\dots +c_{n-1}{\lambda}+c_n
\]
に対し，
\begin{eqnarray*}
c_1&=&-\operatorname{tr}A\\
c_n&=&(-1)^n\operatorname{det}A
\end{eqnarray*}
であり，固有値${\lambda}_1,\dots ,{\lambda}_n$に対し，
\begin{eqnarray*}
\operatorname{tr}A&=&{\lambda}_1+\dots +{\lambda}_n\\
\operatorname{det}A&=&{\lambda}_1\cdots {\lambda}_n
\end{eqnarray*}
となることを示せ．
【解答】
\[
\det ({\lambda}E-A)
=\begin{vmatrix}
{\lambda}-a_{11}&a-_{12}&\dots & -a_{1n} \\
-a_{21}&{\lambda}-a_{22}& \dots &-a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
-a_{n1} &-a_{n2}&\dots &{\lambda}-a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
で${\lambda}^{n-1}$の項が出るのは，対角成分の積
$({\lambda}-a_{11})({\lambda}-a_{22})\cdots ({\lambda}-a_{nn})$
であり，その${\lambda}^{n-1}$の項は
$(-a_{11})({\lambda}-a_{22})\cdots ({\lambda}-a_{nn}),
({\lambda}-a_{11})(-a_{22})\cdots ({\lambda}-a_{nn}),\dots ,
({\lambda}-a_{11})({\lambda}-a_{22})\cdots (-a_{nn})$
から構成されるので，$-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=-\operatorname{tr}A$となる．
\[
c_n=\det (0\cdot E-A)=(-1)^n\det A
\]
である．
一方，固有多項式は，
\[
\det ({\lambda}E-A)=({\lambda}-{\lambda}_1)({\lambda}-{\lambda}_2)\cdots ({\lambda}-{\lambda}_n)
\]
なので，
\begin{eqnarray*}
\operatorname{tr}A&=&{\lambda}_1+\dots +{\lambda}_n\\
\operatorname{det}A&=&{\lambda}_1\cdots {\lambda}_n
\end{eqnarray*}
となる．
【解答終】
【Further Reading】
G．ストラング『線形代数とその応用』産業図書（1978）
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