経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

対称行列の固有値

【問】　実対称行列$A$の固有値は実数となることを示せ．．

【解答】

$\lambda$を固有値，$v$を固有ベクトルとする． \[ Av={\lambda}v. \] の両辺の共役複素数を取ると，Aは実行列だから$\bar{A}=A$であることから \[ A\bar{v}=\bar{\lambda}\bar{v} \] となる．従って \begin{eqnarray*} \langle Av, \bar{v}\rangle&=&\langle {\lambda}v, \bar{v}\rangle\\ &=&{\lambda}\langle v, \bar{v}\rangle\\ &=&\langle v, {\lambda}\bar{v}\rangle\\ &=&\langle v, A\bar{v}\rangle\\ &=&\langle v, \bar{\lambda}\bar{v}\rangle\\ &=&\bar{\lambda}\langle v, \bar{v}\rangle\\ \end{eqnarray*} $\langle v, \bar{v}\rangle >0$であるので，$\bar{\lambda}={\lambda}$となる．

【解答終】

【メモ】

これは拡張できて，$A^n$の固有値は${\lambda}^n$であることがわかる．

【Further Reading】

佐武一郎『線型代数学』裳華房（昭和33年）

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