経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

確率の性質

『経出る』命題12の検証．標本空間を$\Omega$とする確率$P(E)$は次の３つの性質を満たすとする．

1. どのような事象に対しても$P(E)\geq 0$である．
2. 全事象の確率は$P(\Omega )=1$である．
3. もし事象$E_1$と$E_2$が排反事象であるなら， $P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)$である．

【問】
　次のような確率の性質が導かれることを示しなさい．
1.　もし事象$E_1$が$E_2$に踏むまれるならば，$P(E_1)\leq P(E_2)$である．
2.　すべての事象$E$について，$0\leq P(E) \leq 1$である．
3.　空事象$\emptyset$の起こる確率は$P(\emptyset )=0$である．
4.　もし事象$E_1, E_2, \ldots E_n$が互いに排反事象ならば， \[ P(E_1\cup E_2 \cup \cdots \cup E_n)=P(E_1)+P(E_2)+\cdots +P(E_1) \] である．
5.　すべての事象$E_1, E_2$について， \[ P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2) \] である．
6.　すべての事象$E$について，その余事象$\Omega \setminus E$の確率は $P(\Omega \setminus E)=1-P(E)$である．

1. $E_1\subset E_2$ならば，$E_2=E_1\cup (E_2\setminus E_1)$で， $E_1$と$E_2\setminus E_1$は排反．従って$b$により，$P(E_2)=P(E_1)+P(E_2\setminus E_1)$． a.より$P(E_2\setminus E_1)\geq 0$なので， $P(E_2)\geq P(E_1)$．


2. $E \subset \Omega$なので， a.と1.より$0\leq P(E)\leq P(\Omega )=1$となる．


3. $\Omega=\emptyset \cup \Omega $なので， $P(\Omega )=P(\emptyset \cup \Omega)=P(\emptyset )+P(\Omega)$． 従って$P(\emptyset )=0．$


4. $E_1\cap (E_2 \cup \cdots \cup E_n) =(E_1\cap E_2)\cup \cdots \cup(E_1\cap E_n)=\emptyset $なので， $P(E_1\cup (E_2 \cup \cdots \cup E_n)) =P(E_1)+P(E_2 \cup \cdots \cup E_n)$．これを繰り返せばよい．


5. \begin{align} E_1\cup E_2&=E_1\cup (E_2\setminus E_1\cap E_2)\\ E_2&= (E_1\cap E_2)\cup (E_2\setminus E_1\cap E_2) \end{align} なので， \begin{align} P(E_1\cup E_2)&=P(E_1)+P(E_2\setminus E_1\cap E_2)\\ P(E_2)&= P(E_1\cap E_2)+P(E_2\setminus E_1\cap E_2) \end{align} となる．辺々引き算すればよい．


6. $\Omega =E\cup (\Omega \setminus E)$ なので，$P(\Omega )=P(E)+ P(\Omega \setminus E)$より得られる．