経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

ベイズの定理の計算問題

【問】
　ある疾病は人口の$1\%$が罹患していることが分かっている．この病気の検査の真陽性率（実際に罹患している人が陽性となる確率）は$0.9$，偽陽性率（罹患していない人が陽性となる確率）が$0.2$であるとする．このとき，この検査で陽性と判定された人が，この病気に罹患している確率を求めなさい．

【解答】

　病気に罹患している事象を$E_1$，罹患していない事象を$E_2$とし，検査で陽性となる事象を$A$とする．なので，$P(E_1)=0.01$，$P(E_2)=0.99$となる．

罹患している人が陽性となる確率：$P(A\mid E_1)=0.9$
罹患していない人が陽性となる確率：$P(A\mid E_2)=0.2$

なので，陽性と判定されたときに罹患している確率は，ベイズの定理から， \[ P(E_1 \mid A)= \dfrac{P(E_1)P(A\mid E_1)}{P(E_1)P(A\mid E_1)+P(E_2)P(A\mid E_2)} =\dfrac{0.01\times 0.9}{0.01\times 0.9+0.99\times 0.2} =0.03125. \]

【解答終】

【Further Reading】
小島寛之『使える！確率的思考』ちくま新書（2005）

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