経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

ベイズの定理とシグナル：『経出る』練習問題9.1改題

【問】
　ある企業で社員の募集を行う．応募者のうち，生産性の高い人材は$p$， 生産性の低い人材は$1-p$である．生産性の高い人が資格を持っているのは$q_1$， 生産性の低い人が資格を持っているのは$q_2$であるとしよう．
1.　資格を持っている人を採用したとき，その人が生産性の高い人材である確率を求めなさい．
2.　$q_1 > q_2$ならば，資格を持っている人を採用すると，無作為に採用する場合に比べて，生産性の高い人材を採用できる確率が高くなることを示しなさい．

1. $E_1$を生産性が高い応募者の事象，$E_2$を生産性が低い応募者の事象とする．$P(E_1)=p, P(E_2)=1-p$となる．事象$A$を資格を持っている応募者の事象とすると，$P(A\mid E_1)=q_1, P(A\mid E_2)=q_2$となる． ベイズの定理から， \begin{align} P(E_1 \mid A)&=\dfrac{P(E_1)P(A\mid E_1)}{P(E_1)P(A\mid E_1)+P(E_2)P(A\mid E_2)}\\ &=\dfrac{pq_1}{pq_1+(1-p)q_2}. \end{align}


2. $q_1 > q_2$なので，$pq_1+(1-p)q_2 < pq_1+(1-p)q_1=q_1$ 従って， \begin{align} P(E_1 \mid A) &=\dfrac{pq_1}{pq_1+(1-p)q_2}\\ &>\frac{pq_1}{q_1}=p=P(E_1). \end{align}