経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

危険回避的なvNM関数

【問】
　$X$を確率変数，$u(x)$をvNM関数とする．このとき， \[ uが凹関数 \Longrightarrow E(u(X))\leq u(E(X)) \] が成立することを示しなさい．

【解答】

　$u$が凹関数なので， \[ u(x)-u(y)\leq u^{\prime}(y)(x-y) \] が成立する．$x=X, y=E(X)$を代入すると， \[ u(X)-u(E(X))\leq u^{\prime}(E(X))(X-E(X)) \] 両辺の期待値をとると， \[ E(u(X))-u(E(X))\leq u^{\prime}(E(X))(E(X)-E(X))=0 \] なので，$E(u(X))\leq u(E(X))$となる．

【解答終】

【メモ】

　$CE(X)$を確実性等価，即ち$u(CE(X))=E(u(X))$とすると， $u(CE(X))\leq u(E(X))$であるが，vNM関数の単調性から， $CE(X)\leq E(X)$が得られ，危険回避性が導かれる．

【メモ終】

【Further Reading】
藤田岳彦『ファイナンスの最適化入門』講談社（2003）

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