経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
不偏推定量
【問】
母数$\theta$の推定量$\hat{\theta}(X_1,X_2,\dots , X_n)$の平均値が$\theta$
に等しいとき，すなわち
\[
E(\hat{\theta})=\theta
\]
のとき，$\hat{\theta}(X_1,X_2,\dots , X_n)$を$\theta$の不偏推定量という．
このとき次を示しなさい．
(1) 標本平均$\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{I=1}^nX_i$は母平均$\mu$の不偏推定量である．
(2) 不偏分散$U^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{I=1}^n(X_i-\bar{X})^2$は
母分散$\sigma$の不偏推定量である．
【解答】
$E(X_i)=\mu$であることに注意する．
また$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$であることも使う．
(1)
\begin{eqnarray*}
E(\bar{X})&=&E\Bigl(\dfrac{1}{n}\sum_{I=1}^nX_i\Bigr)\\
&=&\dfrac{1}{n}\sum_{I=1}^nE(X_i)\\
&=&\dfrac{1}{n}\cdot n \cdot \mu=\mu.
\end{eqnarray*}
(2)
$\dfrac{1}{n-1}E\Bigl(\sum_{I=1}^n(X_i-\bar{X})^2\Bigr)$において，
\[
(X_i-\bar{X})^2=(x_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2
\]
の各項目について期待値を取る．
第1項目は分散の定義式になるので，$E[(X_i-\bar{X})^2]={\sigma}^2$となる．
第2項目は\begin{eqnarray*}
(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)&=&(X_i-\mu)\times \dfrac{1}{n}\sum_{I=I}^n(X_i-\mu )
\\
&=&\dfrac{1}{n}(X_i-\mu)\times\Bigl \{(X_1-\mu)+(X_2-\mu)+\dots
+(X_n-\mu)\Bigr\}
\end{eqnarray*}
$I\neq j$ に対し，$X_i$と$X_j$は独立なので，
$E[(X_i-\mu )(X_j-\mu )]=0$となる．
従って
\[
E[(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu )]=\dfrac{1}{n}E[(X_i-\bar{X})^2]=\dfrac{{\sigma}^2}{n}
\]
となる．
第3項は$E[(X_i-\mu )(X_j-\mu )]=0$となることに注意すると，
\begin{eqnarray*}
E[(\bar{X}-\mu)^2]&=&E[\dfrac{1}{n^2}\sum_{I=1}^n(X_i-\mu )^2]\\
&=&\dfrac{1}{n^2}\sum_{I=1}^nE[(X_i-\mu )^2]\\
&=&\dfrac{1}{n^2}\sum_{I=1}^n{\sigma}^2=\dfrac{{\sigma}^2}{n}
\end{eqnarray*}
である．
まとめると，
\[
E[(X_i-\bar{X})^2]={\sigma}^2-2\dfrac{{\sigma}^2}{n}+\dfrac{{\sigma}^2}{n}
=\dfrac{n-1}{n}{\sigma}^2.
\]
なので
\[
E[\sum_{I=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=(n-1){\sigma}^2
\]
だから，
\[
E[\dfrac{1}{n-1}\sum_{I=1}^n(X_i-\bar{X})^2]{\sigma}^2
\]
が得られる．
【解答終】
【Further Reading】
大屋幸輔『コア・テキスト 統計学』新世社（2003）
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