経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
中央値の性質
【問】
確率変数$X$に対して，
\[
E|X-a|
\]
を最小にする，$a$は中央値であることを示しなさい．
【解答】
ます並べ替えをし，
\[
x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n
\]
としておく．$E|X-a|$の最小値を求めるためには
\[
S(a)=\sum_{I=1}^n|x_i-a|
\]
の最小値を求めればよい．
両端から
\[
(x_1,x_n), (x_2,x_{n-1}),\ldots
\]
とペアにしておく．各組$(x_{i},x_{n+1-i})$について，
\[
|x_i-a|+|x_{n+1-i}-a|
\]
を考えると，$x_{i}\leq a \leq x_{n+1-i}$のとき，
\[
|x_i-a|+|x_{n+1-i}-a|=(a-x_i)+(x_{n+1-i}-a)=x_{n+1-i}-x_i
\]
となり，区間$[x_{i},x_{n+1-i}]$上で最小となる．
$n=2k+1$のとき，$I=1,\ldots k$に対して，中央値は$x_{k+1}$だから，$x_i\leq x_k \leq x_{2k+2-i}=x_{n+1-i}$が成り立つ．
$a=x_{k+1}$は全ての区間$[x_i, x_{2k+2-i}]$に含まれる．よって各組の和は$a=x_{k+1}$で最小であり，$|x_{k+1}-a|$も
$a=x_{k+1}$で最小である．したがって$S(a)$は$a=x_{k+1}$で最小である．
$n=2k$のとき，中央値$m$は$[x_k, x_{k+1}]$の任意の点である（$m=(x_k+x_{k+1}])/2$ととることが通常）．
$I=1,\ldots k$に対して，
\[
x_i\leq m \leq x_{2k+1-i}=x_{n+1-i}
\]
なので$m$は全ての区間$[x_i, x_{2k+1-i}]$に含まれる．ゆえに各組の和は$a=m$で同時に最小となる．したがって$S(a)$は$a=m$で最小となる．
【解答終】
【問】
確率変数$X$に対して，
平均を$\mu$，中央値を$m$，標準偏差を$\sigma$とするとき，
\[
|{\mu}-m|\leq {\sigma}
\]
が成り立つことを示しなさい．
【解答】
\begin{align*}
|{\mu}-m|&=|E(X-m)|\\
&\leq E|X-m|\\
&\leq E|X-{\mu}|\\
&=E(\sqrt{(X-{\mu})^2})\\
&\leq \sqrt{E(X-{\mu})^2}=\sigma .
\end{align*}
【解答終】
【Further Reading】
Harold Hotelling, Leonard M. Solomons, The Limits of a Measure of Skewness, Ann. Math. Statist. 3(2): 141-142 (May, 1932).
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