経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
製品差別化のもとでのクールノー競争
【問】 $2$社が次のような製品差別化のもとでの需要関数に直面しているとする．
\begin{align*}
p_1&=a-bq_1-b{\theta}q_2 \tag{1}\\
p_2&=a-bq_2-b{\theta}q_1 \tag{2}\\
\end{align*}
ここで$(q_1,q_2)$は各社の生産量，$(p_1,p_2)$は価格，$c$は生産の限界費用（同一）とする．
$0\leq {\theta} \leq 1$ は差別化の度合いを表すパラメーターで${\theta} =0$の時が完全差別化，${\theta} =1$の時が完全同質である．
このとき，クールノー均衡を求めなさい．
【解答】
利潤式は
\begin{align*}
{\pi}_1(q_1,q_2)=(a-bq_1-b{\theta}q_2)q_1-cq_1\\
{\pi}_2(q_1,q_2)=(a-bq_2-b{\theta}q_1)q_2-cq_2
\end{align*}
横軸切片から最適反応関数を求めると，
\begin{align*}
q_1=R_1(q_2)&=\dfrac{a-c-b{\theta}q_2}{2b}\\
q_2=R_2(q_1)&=\dfrac{a-c-b{\theta}q_1}{2b}\\
\end{align*}
これらを連立して解くと，
\[
q_1=q_2=\dfrac{a-c}{b(2+{\theta})}
\]
となる．
【解答終】
【Further Reading】
西村淳一・山内勇『産業組織論への招待』新世社（2025））
製品差別化のもとでのベルトラン競争
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