経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
製品差別化のもとでのベルトラン競争
【問】 $2$社が次のような需要関数に直面しているとする．
\begin{align*}
p_1&=a-bq_1-b{\theta}q_2 \tag{1}\\
p_2&=a-bq_2-b{\theta}q_1 \tag{2}\\
\end{align*}
ここで$(q_1,q_2)$は各社の生産量，$(p_1,p_2)$は価格，$c$は生産の限界費用（同一）とする．
このとき，ベルトラン均衡を求めなさい．
【解答】
$(1)-{\theta}\times (2)$から
\[
p_1-{\theta}p_2=(1-{\theta})a-b(1-{\theta}^2)q_1
\]
となるので，
\[
q_1=\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_1+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_2
\]
であり，
$(2)-{\theta}\times (1)$から
\[
p_2-{\theta}p_1=(1-{\theta})a-b(1-{\theta}^2)q_2
\]
となるので，
\[
q_2=\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_2+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_1
\]
である．従って各企業の利潤式は
\begin{align*}
{\pi}_1(p_1,p_2)&
=\Bigl(\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_1+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_2\Bigr)p_1-c\Bigl(\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_1+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_2\Bigr)\\
{\pi}_2(p_1,p_2)&
=\Bigl(\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_2+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_1\Bigr)p_2-c\Bigl(\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{1}{b(1-{\theta}^2)}p_2+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_1\Bigr)\\
\end{align*}
$1$階条件から，
\begin{align*}
0&=\dfrac{\partial {\pi}_1}{\partial p_1}(p_1,p_2)=\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{2}{b(1-{\theta}^2)}p_1+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_2+\dfrac{c}{b(1-{\theta}^2)}\\
0&=\dfrac{\partial {\pi}_2}{\partial p_2}(p_1,p_2)=\dfrac{a}{b(1+{\theta})}-\dfrac{2}{b(1-{\theta}^2)}p_2+\dfrac{{\theta}}{b(1-{\theta}^2)}p_1+\dfrac{c}{b(1-{\theta}^2)}\\
\end{align*}
これを解いて
\[
p_1=p_2=\dfrac{a(1-{\theta})+c}{2-{\theta}} \tag{3}
\]
が得られる．
【解答終】
【メモ】
完全同質の場合として(3)式で，${\theta}=1$としたくなるがそれは早計．
途中の変形で${\theta}\neq1$を仮定せざるを得ないからだ．
ただし${\theta}\to1$とすることで，$p_1=p_2=c$となり，通常のベルトラン競争が教えるように，最適価格は限界費用に等しくなる．
【メモ終】
【Further Reading】
西村淳一・山内勇『産業組織論への招待』新世社（2025)
製品差別化のもとでのクールノー競争
製品差別化が行われている場合のベルトラン競争
製品差別化が行われている場合のクールノー競争
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