経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
価格弾力性とラーナー指数
独占企業の利潤関数を
\[
{\pi}(Q)=P(Q)Q-C(Q)
\]
とする．最適性条件を価格弾力性
\[
{\epsilon}_d=D^{\prime}(P)\dfrac{P}{D(P)}
\]
を用いて表せ．ただし$D(P)$は逆需要関数であるとする．
すなわち$P(D(P))=P$である．
【解答】
\[
{\pi}^{\prime}(Q)=P^{\prime}(Q)Q+P(Q)-C^{\prime}(Q)
\]
なので$1$階の条件から
\[
P^{\prime}(Q)Q+P(Q)-C^{\prime}(Q)=0 \Leftrightarrow P(Q)(1+P^{\prime}(Q)\dfrac{Q}{P})-MC
\]
ここで$MC$は限界費用である．
$P(D(P))=P$なのだから，合成関数の微分によって
\[
P^{\prime}(D(P))D^{\prime}(P)=1
\]
なので．
\[
P^{\prime}(Q)=P^{\prime}(D(P))=\dfrac{1}{D^{\prime}(P)}
\]
である．従って
\[
P(Q)\Bigl(1+\dfrac{Q}{D^{\prime}(P)P}\Bigr)=MC
\]
簡略化して書くと
\[
P\Bigl(1+\dfrac{1}{{\epsilon}_d}\Bigr)=MC
\]
これより
\[
\dfrac{P-MC}{P}=-\dfrac{1}{{\epsilon}_d}
\]
【解答終】
【メモ】
左辺$L=\dfrac{P-MC}{P}$をラーナーの指数またはマークアップ率という．
この値の解釈は次の通り．弾力性が大きくなるにつれて，$L$はゼロへと近づく．
逆に非弾力的になるにつれて，$L$は大きな値をとる．
需要の価格弾力性が大きい（小さい）市場では，企業はより低い（高い）価格をつける．
【メモ終】
【Further Reading】
西村淳一・山内勇『産業組織論への招待』新世社（2025）
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