経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
ハーフィンダール指数
同質財を生産する$n$個の寡占企業の需要関数を
\[
P(Q)=P(q_1+q_2+\cdots q_n)
\]
とする．限界費用は$c$で同一であるとする．従って，各企業$i$の利潤は，
\[
{\pi}_i=P(Q)q_i-cq_i
\]
である．
最適性条件を価格弾力性
\[
{\epsilon}_d=D^{\prime}(P)\dfrac{P}{D(P)}
\]
を用いて表せ．ただし$D(P)$は逆需要関数であるとする．
すなわち$P(D(P))=P$である．
【解答】
$P(D(P))=P$なのだから，合成関数の微分によって
\[
P^{\prime}(D(P))D^{\prime}(P)=1
\]
なので．
\[
P^{\prime}(Q)=P^{\prime}(D(P))=\dfrac{1}{D^{\prime}(P)}
\]
である．
一方
\begin{align*}
0&=\dfrac{\partial {\pi}_i}{\partial q_i}=P(Q)+q_i\dfrac{\partial P(Q)}{\partial Q}\dfrac{\partial Q}{\partial q_i}-c\\
&=P(Q)+\dfrac{q_i}{Q}\dfrac{\partial P(Q)}{\partial Q}\dfrac{\partial Q}{\partial q_i}Q-c\\
&=P(Q)\Bigl(1+\dfrac{q_i}{Q}\dfrac{\partial P(Q)}{\partial Q}\dfrac{Q}{P(Q)}\Bigr)-c\\
&=P(Q)\Bigl(1+\dfrac{S_i}{{\epsilon}_d}\Bigr)-c
\end{align*}
ここで$S_i=\dfrac{q_i}{Q}$は各企業の市場占有率である．以上より
\[
\dfrac{P(Q)-c}{P(Q)}=-\dfrac{S_i}{{\epsilon}_d}
\]
両辺に$S_i$をかけて総和をとると，$\sum_{i=1}^nS_i=1$より，
\[
\dfrac{P(Q)-c}{P(Q)}=-\dfrac{\sum_{I=1}^nS_i^2}{{\epsilon}_d}
\]
となる．
【解答終】
【メモ】
$H=\sum_{I=1}^nS_i^2$をハーフィンダール指数という．
左辺$L=\dfrac{P-MC}{P}$はラーナーの指数（マークアップ率）である．
$H$の値が大きくなると市場支配力が大きくなる．最大の$H$は$H=1$であるが，
その時$L=-\dfrac{1}{{\epsilon}_d}$となり，独占の支配力となる．
また最小の$H$は$H-0$であるが（そうは絶対ならない），
その時$P=c$となる．
【メモ終】
【Further Reading】
西村淳一・山内勇『産業組織論への招待』新世社（2025）
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